Τρίτη, 10 Μαρτίου 2015

Συνθήκες ισορροπίας στερεού σώματος

Πολλά προβλήματα στατικής βασίζονται στις λεγόμενες συνθήκες ισορροπίας. Οι συνθήκες αυτές ουσιαστικά μας δίνουν τις προϋποθέσεις για να ισορροπεί ένα στερεό σώμα και βοηθάνε στην επίλυση προβλημάτων στατικής. Παρακάτω θα αναλύσουμε ποιες είναι αυτές οι συνθήκες και από που προκύπτουν.

Γνωρίζουμε πως η συνθήκη ισορροπίας για ένα υλικό σημείο είναι η ακόλουθη: πρέπει το διανυσματικό άθροισμα των δυνάμεων να είναι μηδενικό. Η αντίστοιχη συνθήκη ισορροπίας για ένα σώμα είναι πως το κέντρο μάζας του σώματος έχει μηδενική επιτάχυνση. Για να συμβεί αυτό πρέπει η συνιστώσα των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα να είναι μηδενική. Αυτή η συνθήκη ονομάζεται πρώτη συνθήκη ισορροπίας και μαθηματικά μπορούμε να την περιγράψουμε ως εξής:

Η δεύτερη συνθήκη βασίζεται στην δυναμική της στροφικής κίνησης και είναι η σχέση μεταξύ των ροπών των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα όταν αυτό βρίσκεται σε ισορροπία. Ένα σώμα το οποίο ισορροπεί έχει μηδενική στροφορμή ως προς ένα σημείο. Επίσης, ο χρονικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής πρέπει να είναι μηδενικός (μηδενική γωνιακή επιτάχυνση) ώστε να παραμείνει σε ισορροπία και να μην αρχίσει να περιστρέφεται ως προς αυτό το σημείο. Συνεπώς, και το άθροισμα των ροπών εξαιτίας των δυνάμεων ως προς αυτό το σημείο πρέπει να είναι μηδενικό. Επειδή ένα σώμα που βρίσκεται σε ισορροπία υπό την επίδραση δυνάμεων δεν έχει γωνιακή επιτάχυνση ως προς οποιοδήποτε σημείο, το άθροισμα των ροπών ως προς οποιοδήποτε σημείο πρέπει να είναι μηδέν. Συνεπώς, για οποιοδήποτε σημείο έχουμε

Πρέπει να τονίσουμε πως οι δύο περιπτώσεις που χρησιμοποιούνται αυτές οι συνθήκες είναι όταν το σώμα βρίσκεται σε στατική ισορροπία (δηλαδή ούτε περιστρέφεται ούτε εκτελεί μεταφορική κίνηση) και όταν το σώμα εκτελεί μεταφορική κίνηση χωρίς περιστροφή.

Στο σχήμα 1 βλέπουμε τρεις περιπτώσεις εφαρμογής δυνάμεων σε σώματα.

σχήμα 1, φαίνονται τρεις περιπτώσεις εφαρμογής δυνάμεων σε σώματα. Στην περίπτωση (a) τηρούνται και οι δύο συνθήκες ισορροπίας. Στην περίπτωση (b) ισχύει μόνο η πρώτη και στην περίπτωση (c) δεν ισχύει καμία συνθήκη αφού το άθροισμα των ροπών είναι μηδενικό μόνο ως προς τον άξονα περιστροφής και όχι για οποιοδήποτε σημείο. Συνεπώς το σώμα ισορροπεί μόνο στην περίπτωση (a).
Ας δούμε τώρα δύο εφαρμογές. Η πρώτη είναι η εξής: Έχουμε ένα αυτοκίνητο βάρους W (σχήμα 2). Το 54% του βάρους του κατανέμεται στους μπροστινούς τροχούς και το 46% στους οπίσθιους. Η απόσταση μεταξύ του άξονα των μπροστινών τροχών του και των οπίσθιων είναι L=2.5 m . Πόσο πίσω από τον μπροστινό άξονα είναι το κέντρο βάρους του αυτοκινήτου;

σχήμα 2, το διάγραμμα ελεύθερου σώματος για το αυτοκίνητο.

Αρχικά, από τα δεδομένα της εφαρμογής έχουμε πως η κατακόρυφη δύναμη που ασκείται στους μπροστινούς τροχούς είναι 0.54W και η δύναμη που ασκείται στους οπίσθιους τροχούς είναι 0.46W. Δηλαδή
Έτσι, η πρώτη συνθήκη ισορροπίας ικανοποιείται αφού
και επειδή
καθώς δεν υπάρχουν δυνάμεις κατά τον άξονα των x.

Έπειτα, αφού το σώμα ισορροπεί ισχύει πως το άθροισμα των ροπών για οποιοδήποτε σημείο είναι μηδενικό (δεύτερη συνθήκη ισορροπίας). Επιλέγουμε να θεωρήσουμε τις ροπές ως προς το σημείο F. Έτσι έχουμε

Οπότε το κέντρο βάρους βρίσκεται 1.15 m πίσω από τον μπροστινό άξονα.

Η δεύτερη εφαρμογή είναι η ακόλουθη: Στο σχήμα 3 βλέπουμε μία ράβδο μήκους L=1 m και βάρους W=500 N η οποία ισορροπεί. Το άκρο Α της βρίσκεται σε επαφή με έναν τοίχο σχηματίζοντας γωνία ω1=80 μοίρες με αυτόν. Το άλλο άκρο της Β συνδέεται με τον τοίχο με νήμα που σχηματίζει γωνία ω2=40 μοίρες με την ράβδο. Το κέντρο βάρους της ράβδου βρίσκεται απόσταση Lcg=0.6 m από το άκρο Α. Υπολογίστε το μέτρο των δυνάμεων που ασκούνται στο άκρο Α και το μέτρο της τάσης του νήματος.

σχήμα 3, φαίνεται ο τρόπος με τον οποίο ισορροπεί η ράβδος και οι δυνάμεις που
ασκούνται σε αυτήν. Η ράβδος φαίνεται με κίτρινο χρώμα.

Στο άκρο Α ασκείται μία κάθετη δύναμη n και μία δύναμη τριβής J. Αφού οι δυνάμεις J και n μας είναι άγνωστες μας συμφέρει να θεωρήσουμε τις ροπές ως προς το σημείο Α. Έτσι το άθροισμα των ροπών ως προς το Α είναι μηδενικό, με αποτέλεσμα να έχουμε
Έπειτα από την πρώτη συνθήκη ισορροπίας (και από την γεωμετρία του σχήματος 3) ισχύει
και

Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου