Τετάρτη, 11 Μαρτίου 2015

Πότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις συνθήκες ισορροπίας

Στην ανάρτηση Συνθήκες ισορροπίας στερεού σώματος είπαμε πως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις δύο συνθήκες ισορροπίας σε σώματα

  1. που βρίσκονται σε στατική ισορροπία, δηλαδή σε σώματα που ούτε περιστρέφονται ούτε εκτελούν μεταφορική κίνηση
  2. που εκτελούν μόνο μεταφορική κίνηση με σταθερή ταχύτητα
Όμως οι συνθήκες ισορροπίας μπορούν να εφαρμοστούν και για σώματα
  1. που εκτελούν και μεταφορική κίνηση με σταθερή ταχύτητα και περιστροφική γύρω από το κέντρο μάζας τους με σταθερή γωνιακή ταχύτητα
  2. που εκτελούν μόνο περιστροφική κίνηση με σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από το κέντρο μάζας τους
Πως προκύπτουν όμως αυτές οι τέσσερις κατηγορίες; Ας τις πάρουμε με την σειρά

Κατηγορία 1

Το κέντρο μάζας των σωμάτων που βρίσκονται σε στατική ισορροπίας δεν επιταχύνεται με αποτέλεσμα να έχουμε

Επίσης, το άθροισμα των ροπών που προκαλούνται από τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα είναι μηδενικό ως προς οποιοδήποτε σημείο του σώματος καθώς οποιοδήποτε άξονα περιστροφής επιλέξουμε το σώμα δεν θα περιστραφεί ως προς αυτόν. Οπότε
Κατηγορία 2

Το κέντρο μάζας ενός σώματος που εκτελεί μεταφορική κίνηση με σταθερή ταχύτητα δεν επιταχύνεται οπότε προκύπτει η πρώτη συνθήκη ισορροπίας.

Ο λόγος που προκύπτει η δεύτερη συνθήκη ισορροπίας είναι ο ίδιος με την κατηγορία 1

Κατηγορία 3

Αν ένα σώμα εκτελεί μεταφορική κίνηση με σταθερή ταχύτητα και περιστροφική γύρω από το κέντρο μάζας του με σταθερή γωνιακή ταχύτητα τότε και πάλι το κέντρο μάζας του δεν επιταχύνεται οπότε προκύπτει η πρώτη συνθήκη.

Για να καταλάβουμε γιατί ισχύει η δεύτερη συνθήκη ας δούμε το παράδειγμα του σχήματος 1

σχήμα 1, το σώμα περιστρέφεται γύρω από το κέντρο
μάζας του.
Το σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα οπότε θα πρέπει να ισχύει ΣF=0 το οποίο και πράγματι ισχύει αφού
Επίσης το άθροισμα των ροπών ως προς το κέντρο μάζας του σώματος είναι μηδενικό αφού
Όμως αν θεωρήσουμε ροπές ως προς το σημείο εφαρμογής της δεξιάς δύναμης F έχουμε
Οπότε επαληθεύεται και η δεύτερη συνθήκη.

Κατηγορία 4

Η πρώτη συνθήκη προκύπτει από το γεγονός πως το κέντρο μάζας δεν επιταχύνεται και ο λόγος που ισχύει η δεύτερη συνθήκη είναι ο ίδιος με τον λόγο της κατηγορίας 3.

Θα δούμε τώρα γιατί δεν ισχύουν αυτές οι δύο συνθήκες για στερεά που περιστρέφονται με σταθερή ταχύτητα γύρω από άξονα που δεν διέρχεται από το κέντρο μάζας του. Έχουμε το στερεό του σχήματος 2.
σχήμα 2, το σώμα περιστρέφεται γύρω από τον άξονα που διέρχεται
από το σημείο Α.

Οι δυνάμεις F1 και F2 έχουν επιλεχθεί έτσι ώστε το άθροισμα των ροπών τους ως προς το Α να είναι μηδενικό ώστε το σώμα να περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Συνεπώς

Επίσης αφού το κέντρο μάζας του σώματος επιταχύνεται (καθώς εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση) ισχύει
και

Συνεπώς δεν ισχύει η πρώτη συνθήκη ισορροπίας. Ας υπολογίσουμε το άθροισμα των ροπών ως προς το κέντρο μάζας.
Οπότε δεν ισχύει ούτε η δεύτερη συνθήκη ισορροπίας αφού το άθροισμα των ροπών είναι μηδενικό μόνο ως προς το σημείο Α.

2 σχόλια: