Πέμπτη, 26 Μαρτίου 2015

Διαμόρφωμα περίθλασης

Θα μελετήσουμε τις εικόνες περίθλασης που δημιουργούνται κατά την πτώση επίπεδων μετώπων κύματος σε μία σχισμή. Για την ανάπτυξη των εικόνων αυτών θα δημιουργήσουμε έναν αλγόριθμο που θα αναπαριστά το φαινόμενο της περίθλασης και με αλλαγή των παραμέτρων που εισάγουμε στον αλγόριθμο θα δούμε τις διαφορές στην εικόνα περίθλασης.

Για να δημιουργήσουμε τον αλγόριθμο πρέπει να καταλάβουμε πως προκύπτει η εικόνα περίθλασης. Έστω λοιπόν πως επίπεδα μέτωπα κύματος πέφτουν πάνω στην σχισμή (εύρους a) του σχήματος 1. Από την αρχή του Huygens μπορούμε να θεωρήσουμε πως κάθε σημείο της σχισμής εκπέμπει κυκλικά μέτωπα κύματος σαν να είναι πηγή κυμάτων. Τα κύματα αυτά συμβάλλουν στον χώρο με αποτέλεσμα να προκύπτει η εικόνα περίθλασης. Έτσι, η μετατόπιση ενός σημείου P του χώρου ισούται με το άθροισμα των μετατοπίσεων που προκαλεί τα κύματα από την κάθε πηγή.

σχήμα 1, τα σωματίδια που βρίσκονται πάνω στην σχισμή ταλαντώνονται και
σύμφωνα με την αρχή του Huygens από αυτά ξεκινάνε κυμάτια τα οποία συμβάλλουν
σε κάθε σημείο του χώρου.
Οι πηγές πάνω στην σχισμή είναι άπειρες αλλά εμείς θα τις θεωρήσουμε πεπερασμένες χωρίς να δημιουργείται κάποιο πρόβλημα. Έτσι αν χωρίσουμε την σχισμή σε N πηγές, η μετατόπιση του σημείου P θα είναι
όπου yi η συνεισφορά της i πηγής στο σημείο P. Ο τύπος αυτός προκύπτει από την αρχή της επαλληλίας. Για το yi ισχύει
όπου Α το πλάτος ταλάντωσης των πηγών στην σχισμή, λ το μήκος κύματος των κυμάτων, Τ η περίοδος των κυμάτων, t ο χρόνος και ri η απόσταση της i πηγής από το σημείο P. Αν θέλουμε να υπολογίσουμε την μετατόπιση κάθε σωματιδίου του χώρου κάποια δεδομένη χρονική στιγμή t πρέπει να προσθέσουμε τις συνεισφορές από κάθε πηγή για κάθε σημείο.

σχήμα 2, προσθέτουμε την συνεισφορά κάθε πηγής σε κάθε σημείο του χώρου.
Η σχισμή στο συγκεκριμένο παράδειγμα εκτείνεται από το σημείο (40,0) έως το
(60,0) οπότε το a=20 m. Στον κώδικα που θα αναπτύξουμε θεωρούμε πως η μέση
της σχισμής είναι και η μέση της ακμής του τετραγώνου.

Για να το κάνουμε αυτό με κώδικα πρέπει να δημιουργήσουμε έναν κάναβο σε μία περιοχή του χώρου (σχήμα 2). Έτσι, επιλέγουμε ορισμένα σημεία του κανάβου για τα οποία θα υπολογίσουμε την μετατόπιση τους με την αρχή της επαλληλίας. Στον κώδικα πρέπει να εισάγουμε τις διαστάσεις της περιοχής, το μήκος κύματος, το πλάτος, την περίοδο και την χρονική στιγμή που μας ενδιαφέρει. Θα θεωρήσουμε πως η περιοχή μας είναι τετράγωνο οπότε χρειάζεται να γνωρίζουμε μόνο την ακμή του. Επίσης, πρέπει να τονίσουμε πως η σχισμή ξεκινάει από το σημείο (0.5(x-a),0) και τελειώνει στο σημείο (0.5(x+a),0), δηλαδή η μέση της σχισμής είναι και η μέση της ακμής του τετραγώνου και πως θα χωρίσουμε την σχισμή σε 100 πηγές.

Ο κώδικας είναι ο ακόλουθος:

Private Sub Command1_Click()

'εισαγωγή δεδομένων από την φόρμα
euros = Text1.Text
lamda = Text2.Text
period = Text3.Text
amplitude = Text4.Text
xronos = Text5.Text
x = Text6.Text

'καθορίζουμε ανά πόσα m θα υπολογίζουμε σημεία (βήμα)
step_x = x / 100
'καθορίζουμε ανά πόσα m απέχουν οι πηγές
step_source = euros / 100
'ορισμός του π
pi = 4 * Atn(1)
'το σημείο από το οποίο ξεκινάμε είναι το (0,0)
x_point = 0
y_point = 0

'ανοίγουμε ένα αρχείο για εξαγωγή των αποτελεσμάτων
Open "diffraction.txt" For Output As #1

'κάνουμε επανάληψη για κάθε τιμή του x
For i = 0 To 100
'κάνουμε επανάληψη για κάθε τιμή του y
For j = 0 To 100

'βρίσκουμε το x της πρώτης πηγής
x_source = 0.5 * (x - euros)

'υπολογίζουμε την απόσταση του σημείου (i,j) από κάθε πηγή
'υπολογίζουμε την συνεισφορά της κάθε πηγής
'και τις αθροίζουμε
For k = 1 To 100
r = Sqr((x_point - x_source) ^ 2 + y_point ^ 2)
partial_Height = amplitude * Sin((2 * pi / period) * xronos - (2 * pi / lamda) * r)
x_source = x_source + step_source
total_height = total_height + partial_Height
Next k

'τυπώνουμε στο αρχείο τα αποτελέσματα
Print #1, x_point, y_point, total_height
'μετακινούμαστε κατά y όσο το βήμα
y_point = y_point + step_x
'για το νέο σημείο το ύψος είναι μηδέν
total_height = 0
Next j
'επανερχόμαστε στο y=0
y_point = 0
'μετακινούμαστε κατά x όσο το βήμα
x_point = x_point + step_x
Next i

'κλείνουμε το αρχείο εξαγωγής δεδομένων
Close

End Sub

εικόνα 1, η φόρμα εισαγωγής δεδομένων στον κώδικα.
Ας παράγουμε τώρα με την βοήθεια του κώδικα ορισμένες εικόνες περίθλασης. Ας επιλέξουμε a=40 m, λ=10 m, T=10 s, A=1 m, t=5 s και x=200 m . Εκτελούμε τον κώδικα και παίρνουμε ένα αρχείο txt το οποίο και οπτικοποιούμε μέσω του προγράμματος Surfer. Έτσι προκύπτει η εικόνα 2.

εικόνα 2, a=40 m, λ=10 m, T=10 s, A=1 m, t=5 s και x=200 m. Η σχισμή εκτείνεται από x=80 m στο x=120 m.
Παρατηρούμε στην εικόνα 2 πως υπάρχουν περιοχές με έντονο κυματισμό και περιοχές με σχεδόν μηδενικό κυματισμό. Το πόσες περιοχές με έντονο κυματισμό έχουμε σχετίζεται με τον λόγο a/λ. Έτσι ας αυξήσουμε το a και ας κρατήσουμε τα άλλα στοιχεία έτσι όπως είναι. Επιλέγοντας a=80 m προκύπτει η εικόνα 3.

εικόνα 3, a=80 m, λ=10 m, T=10 s, A=1 m, t=5 s και x=200 m. Παρατηρούμε πως οι περιοχές με έντονο κυματισμό αυξήθηκαν. Η σχισμή εκτείνεται από x=60 m έως x=140 m.

Με την αύξηση του λόγου a/λ αυξάνονται και οι περιοχές με έντονο κυματισμό. Τέλος, θα μελετήσουμε την επίδραση του χρόνου στην εικόνα περίθλασης. Για την εικόνα 3 ισχύει t=5 s. Ας δούμε την εικόνα συμβολής 5 s μετά, δηλαδή όταν t=10 s. Ο λόγος που επιλέγουμε να αυξήσουμε τον χρόνο κατά 5 s είναι πως τόσο είναι η ημιπερίοδος. Στην εικόνα 3 υπάρχουν κάποια μέγιστα και ελάχιστα ύψη κύματος. Στην νέα εικόνα (εικόνα 4) που θα δημιουργηθεί τα μέγιστα και ελάχιστα θα είναι ανεστραμμένα σε σχέση με την εικόνα 3 αφού ο χρόνος θα έχει προχωρήσει κατά T/2. Εκτελούμε τον κώδικα με t=10 s και προκύπτει η νέα εικόνα.

εικόνα 4, a=80 m, λ=10 m, T=10 s, A=1 m, t=10 s και x=200 m. Το κύμα της εικόνας αυτής έχει ανεστραμμένα μέγιστα και ελάχιστα σε σχέση με την εικόνα 3.

Πράγματι η υπόθεση μας επιβεβαιώθηκε. Οπότε μπορούμε να πούμε πως ο χρόνος δεν καθορίζει τα χαρακτηριστικά του κυματισμού όμως καθορίζει την θέση των ελαχίστων και μεγίστων αφού όταν προχωράει ο χρόνος ο κυματισμός απομακρύνεται από την σχισμή.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου