Παρασκευή, 6 Μαρτίου 2015

Υπολογισμοί ομοιόμορφου βάθους

Θα δούμε τους τύπους με τους οποίους υπολογίζονται τα ομοιόμορφα βάρη σε διάφορους τύπους ανοικτών αγωγών (ορθογωνικοί, τραπεζοειδείς και κυκλικοί). Έπειτα θα χρησιμοποιήσουμε αυτούς τους τύπους σε αριθμητικές εφαρμογές ώστε να δούμε τι δυσκολίες μπορούν να προκύψουν.

Ομοιόμορφο βάθος είναι το βάθος που χαρακτηρίζει την ομοιόμορφη ροή. Αυτός ο τύπος ροής χαρακτηρίζεται από την σταθερότητα όλων των διαφόρων μεγεθών ροής. Η ομοιόμορφη ροή είναι η κατάσταση που τείνει η πραγματική ροή όταν της το επιτρέπουν οι οριακές συνθήκες και η μορφή του αγωγού.

Αρχικά ο τύπος που ισχύει για τους ορθογωνικούς αγωγούς είναι ο εξής:
όπου y0 το ομοιόμορφο βάθος, Q η παροχή του αγωγού, S0 η κατά μήκος κλίση του, b το πλάτος του αγωγού και n ο συντελεστής του Manning.

Ας δούμε την πρώτη εφαρμογή μας η οποία είναι η εξής: Να υπολογιστεί το βάθος y0 σε αγωγό ορθογωνικής διατομής με b=4 m, n=0.016, S0=0.0001 και Q=15 m3/s . Έτσι κάνοντας αντικαταστάσεις αριθμητικές τιμές στον τύπο για την ορθογωνική διατομή έχουμε


Έτσι με επαναληπτική διαδικασία βρίσκουμε πως y0=4.77 m .

Ο αντίστοιχος τύπος για τραπεζοειδή αγωγό με κλίση πρανών m είναι ο

Στον τύπο αυτόν b είναι το πλάτος του πυθμένα του αγωγού.

Ας δούμε την δεύτερη εφαρμογή μας. Να υπολογιστεί το βάθος y0 σε αγωγό τραπεζοειδούς διατομής με b=3 m, m=1, n=0.013, S0=0.0010 και Q=12 m3/s .

Αντικαθιστώντας νούμερα στον παραπάνω τύπο έχουμε

Με επαναληπτική διαδικασία έχουμε πως y0=1.29 m .

Τέλος για κυκλικούς αγωγούς ισχύει πως
και

όπου D η διάμετρος του αγωγού και β0 η γωνία που φαίνεται στο σχήμα 1.

σχήμα 1, διατομή κυκλικού αγωγού διαμέτρου D.

Η τελευταία εφαρμογή είναι η εξής: Αγωγός κυκλικής διατομής έχει διάμετρο D=3 m, κατά μήκος κλίση S0=0.0005 και συντελεστή n=0.015 . Η παροχή που περνάει από τον αγωγό είναι Q=3 m3/s . Ποιο είναι το ομοιόμορφο βάθος;

Αντικαθιστώντας αριθμητικές τιμές στην εξίσωση (1) έχουμε
Για να λύσουμε αυτή την εξίσωση καταφεύγουμε στην μέθοδο της διχοτόμησης. Ο λόγος που το κάνουμε αυτό είναι επειδή η μέθοδος Newton-Raphson χρειάζεται την παράγωγο αυτής της εξίσωσης που είναι πολύ δύσκολη και η απλή επαναληπτική διαδικασία δεν μας οδηγεί σε σύγκλιση. Έτσι η ρίζα που βρίσκουμε είναι η β0=1.38 rad . Οπότε το ομοιόμορφο βάθος είναι

Παρατηρούμε πως όλες οι εξισώσεις που κληθήκαμε να λύσουμε είναι μη γραμμικές και χρειάζονται μέθοδοι της αριθμητικής ανάλυσης για να επιλυθούν. Αυτό αποτελεί μία δυσκολία των προβλημάτων αυτών.

Πηγή: Σημειώσεις ανοικτών αγωγών, Α. Δαμασκηνίδου-Γεωργιάδου Ε. Σιδηρόπουλος

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου