Τετάρτη, 8 Απριλίου 2015

Μη γραμμικοί ταλαντωτές

Θα μελετήσουμε την έννοια του μη γραμμικού ταλαντωτή και συγκεκριμένα το ελατήριο αέρα. Ένας μη γραμμικός ταλαντωτής χαρακτηρίζεται από μία μη γραμμική διαφορική εξίσωση κίνησης, η επίλυση της οποίας απαιτεί γραμμικοποίηση. Παρακάτω θα μελετήσουμε πως καταστρώνουμε την διαφορική εξίσωση και πως βρίσκουμε την εξίσωση κίνησης.

Έστω πως έχουμε ένα κυλινδρικό δοχείο και ένα έμβολο διατομής Α και βάρους m (σχήμα 1). Το δοχείο περιέχει n mol ιδανικού αερίου σε θερμοκρασία T.

σχήμα 1, το σύστημα κυλινδρικού δοχείου και εμβόλου. Δίπλα φαίνεται το σύστημα
αναφοράς.
Το έμβολο ισορροπεί σε μία συγκεκριμένη θέση. Θεωρώντας το σύστημα αναφοράς του σχήματος 1 μπορούμε να πούμε πως το έμβολο ισορροπεί στην θέση xeq.

Για να βρούμε την θέση ισορροπίας πρέπει να αναλύσουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στο έμβολο με αποτέλεσμα να έχουμε
όπου P η απόλυτη πίεση μέσα στο έμβολο και Patm η ατμοσφαιρική πίεση έξω από το έμβολο. Όμως το P εξαρτάται από το x. Για να βρούμε την εξάρτηση αυτή χρησιμοποιούμε την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων
(V ο όγκος του ιδανικού αερίου μέσα στο δοχείο και R μία σταθερά) και το γεγονός πως
Συνεπώς
Αντικαθιστώντας την (2) στην (1) εκφράζουμε την συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο έμβολο συναρτήσει της θέσης του εμβόλου. Οπότε παίρνουμε την ακόλουθη εξίσωση

Για να βρούμε την θέση ισορροπίας θέτουμε την σχέση (3) ίση με το μηδέν. Έτσι
Τώρα για να προκύψει η διαφορική εξίσωση κίνησης χρησιμοποιούμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα. Συγκεκριμένα γράφουμε
Όμως χρησιμοποιώντας την σχέση (3) έχουμε
και επειδή η επιτάχυνση είναι η δεύτερη παράγωγος του x προκύπτει η εξής διαφορική εξίσωση:
Αυτή η διαφορική εξίσωση καθορίζει την κίνηση του εμβόλου και είναι μη γραμμική οπότε είναι δύσκολο να βρούμε μία αναλυτική λύση. Αυτό που μπορούμε να κάνουμε είναι να την γραμμικοποιήσουμε γύρω από την θέση ισορροπίας με την βοήθεια της σειράς Taylor. Δηλαδή θα θεωρήσουμε πως το έμβολο πραγματοποιεί ταλάντωση με μικρό πλάτος.

Ας δούμε πρώτα πως εφαρμόζεται η σειρά Taylor. Αν έχουμε μία συνάρτηση f(x) και θέλουμε να την εκφράσουμε ως πολυώνυμο γύρω από ένα σημείο a μπορούμε να γράψουμε το εξής ανάπτυγμα άπειρων όρων:

Οπότε γράφοντας το ανάπτυγμα Taylor της σχέσης (3) γύρω από το xeq και κρατώντας μόνο τους γραμμικούς όρους (1ος και 2ος όρος) έχουμε
Όμως από την εξίσωση (4) παρατηρούμε ότι το άθροισμα των πρώτων τριών όρων είναι μηδέν. Άρα
Έτσι από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα προκύπτει η ακόλουθη γραμμική διαφορική εξίσωση
την οποία μπορούμε να γράψουμε με την εξής μορφή:

Σε αντίθεση με την εξίσωση (5), η εξίσωση (6) έχει γνωστή λύση η οποία είναι η
με
Οι σταθερές Α και φ0 μπορούν να έχουν οποιαδήποτε τιμή.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου