Πέμπτη, 9 Απριλίου 2015

Το φαινόμενο Doppler

Πολλές φορές έχουμε παρατηρήσει ότι όταν ένα περιπολικό περνάει από δίπλα μας με μεγάλη ταχύτητα η οξύτητα του ήχου της σειρήνας του φαίνεται να μειώνεται. Το φαινόμενο αυτό λέγεται φαινόμενο Doppler. Όταν η πηγή παραγωγής του ήχου και και ο ακροατής βρίσκονται σε σχετική κίνηση η συχνότητα της πηγής διαφέρει με την συχνότητα που παρατηρεί ο ακροατής.

Θα εξετάσουμε την περίπτωση που τα διανύσματα των ταχυτήτων του ακροατή και της πηγής είναι συνευθειακά. Ο ακροατής έχει ταχύτητα uL και η πηγή έχει ταχύτητα uS ως προς τον αέρα. Θα κάνουμε την σύμβαση πως θεωρούμε θετική ταχύτητα (του ακροατή ή της πηγής) την ταχύτητα που έχει κατεύθυνση από τον ακροατή L προς την πηγή S. Επίσης θεωρούμε πως ο ήχος έχει ταχύτητα u που είναι πάντα θετική.

Θα διερευνήσουμε δύο περιπτώσεις πρώτα. Η πρώτη είναι η περίπτωση που ο ακροατής κινείται με ταχύτητα uL και η πηγή είναι ακίνητη (σχήμα 1).

σχήμα 1, ο ακροατής κινείται προς την πηγή. Η ταχύτητα του είναι θετική καθώς
έχει φορά από τον ακροατή προς την πηγή.
Αρχικά ο ακροατής βρίσκεται στην θέση 0. Έπειτα, καθώς μετακινείται την χρονική στιγμή t1 φτάνει στην θέση 1 και την χρονική στιγμή t2 φτάνει στην θέση 2. Στην θέση 1 εντόπισε το πρώτο μέτωπο κύματος και στην θέση 2 εντόπισε το επόμενο. Έτσι η διαφορά t2-t1 είναι η περίοδος κύματος TL που παρατηρεί ο ακροατής καθώς μέσα σε αυτό το χρονικό διάστημα εντοπίζει δύο διαδοχικά μέτωπα κύματος. Επίσης, η σχετική ταχύτητα του ακροατή ως προς τα μέτωπα κύματος είναι
Ακόμη, ο ακροατής, έχοντας αυτή την ταχύτητα σε σχέση με τα μέτωπα κύματος, σε χρόνο
θα έχει διανύσει απόσταση λ. Οπότε ισχύει 
όμως ισχύει επίσης
Άρα έχουμε
Για το μήκος κύματος έχουμε
Οπότε με συνδυασμό των δύο παραπάνω εξισώσεων παίρνουμε
όπου fL η συχνότητα που παρατηρεί ο ακροατής και fS η συχνότητα της πηγής.

Μετά θα εξετάσουμε την δεύτερη περίπτωση η οποία είναι η περίπτωση της κινούμενης πηγής με ταχύτητα uS και κινούμενου ακροατή με ταχύτητα uL (σχήμα 2).

σχήμα 2, το μήκος κύματος μεγαλώνει στο αριστερά της πηγής και μικραίνει στα
δεξιά της.
Στο σχήμα 2 βλέπουμε ότι η πηγή έχει εκπέμψει δύο διαδοχικά μέτωπα κύματος. Όταν περάσει χρονικό διάστημα TS (TS είναι η περίοδος της πηγής) από την εκπομπή του δεύτερου μετώπου κύματος (που έγινε όταν η πηγή βρισκόταν στην θέση 2), θα έχει περάσει χρονικό διάστημα 2ΤS από την εκπομπή του πρώτου (που έγινε όταν η πηγή βρισκόταν στην θέση 1). Τότε το πρώτο μέτωπο θα έχει ταξιδέψει απόσταση
και το δεύτερο απόσταση
Επίσης, η απόσταση μεταξύ της θέσης 1 και της θέσης 2 είναι
Έτσι από την γεωμετρία του προβλήματος έχουμε ότι το μήκος κύματος στα αριστερά της πηγής είναι
ενώ το μήκος κύματος στα δεξιά της πηγής είναι
Παρατηρούμε ότι το μήκος κύματος αριστερά της πηγής είναι μεγαλύτερο από το μήκος κύματος στα δεξιά της πηγής. Στην περίπτωση ακίνητης πηγής και κινούμενου ακροατή βρήκαμε ότι η συχνότητα που παρατηρεί ακροατής που κινείται με ταχύτητα uL δίνεται από την εξίσωση (1). Έτσι κάνοντας αντικατάσταση στην εξίσωση (1) το μήκος κύματος, που δίνεται στην περίπτωση κινούμενης πηγής από την εξίσωση (2) (καθώς ο ακροατής είναι αριστερά της πηγής), έχουμε
Η παραπάνω σχέση είναι γενική και καλύπτει όλες τις περιπτώσεις κίνησης της πηγής και του ακροατή όταν τα διανύσματα της ταχύτητας τους είναι συνευθειακά.

Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου