Πέμπτη, 28 Μαΐου 2015

Γιατί δεν μπορεί κάποιος να διαιρέσει με το μηδέν;

Από το γυμνάσιο, στα μαθηματικά διδάσκεται πως δεν γίνεται να διαιρέσεις έναν αριθμό με το μηδέν. Από τότε αυτό μας συνοδεύει μέχρι το πανεπιστήμιο και μετέπειτα στην επαγγελματική μας ζωή. Όμως ποιος είναι ο λόγος που ισχύει κάτι τέτοιο; και γιατί η διαίρεση με το μηδέν είναι διαφορετική από την διαίρεση με κάποιον άλλο αριθμό;

Υπάρχουν πολλοί λόγοι που η διαίρεση με το μηδέν δεν είναι εφικτή. Ένας πρώτος αφορά την φυσική σημασία της διαίρεσης. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε έξι αντικείμενα και θέλουμε να τα χωρίσουμε σε τρεις ομάδες. Πως θα βρούμε πόσα αντικείμενα πάνε σε κάθε ομάδα; Πολύ απλά διαιρούμε το 6 με το 3. Έτσι αφού 6/3=2 κάθε ομάδα θα περιέχει 2 αντικείμενα (σχήμα 1).

σχήμα 1, 6 κομμάτια πίτσας τα χωρίζουμε σε 3 ομάδες. Κάθε ομάδα περιέχει 2 κομμάτια πίτσας αφού 6/3=2 .
Τι συμβαίνει τώρα αν θέλουμε να χωρίσουμε τα έξι αυτά αντικείμενα σε μηδέν ομάδες; Βασικά, αυτή η ερώτηση δεν έχει νόημα αφού δεν γίνεται να χωρίσεις μία ομάδα αντικειμένων σε μηδέν ομάδες. Συνεπώς η διαίρεση με το μηδέν δεν ορίζεται.

Ένας άλλος λόγος είναι ο εξής: Στην πραγματικότητα η μόνη πράξη που υφίσταται στα μαθηματικά είναι η πρόσθεση. Η αφαίρεση, ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι πράξεις που έχουν "παραχθεί" από την πρόσθεση. Για παράδειγμα αν θέλουμε να αφαιρέσουμε το 3 από το 5, πολύ απλά προσθέτουμε το -3 και το 5. Δηλαδή
Αν θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε το 2 με το 3, απλά προσθέτουμε το 2 τρεις φορές, δηλαδή
Έπειτα αν επιθυμούμε να διαιρέσουμε το 8 με το 2, ουσιαστικά ψάχνουμε να δούμε πόσες φορές μπορούμε να αφαιρέσουμε το 2 από το 8 ώστε να προκύψει αριθμός μικρότερος από το 2. Παραδείγματος χάριν,
Οπότε το αποτέλεσμα της διαίρεσης του 8 με το 2 είναι 4. Ο αριθμός που προέκυψε στο τέλος είναι το μηδέν που όντως είναι μικρότερο του 2.

Τι θα συμβεί όμως αν επιχειρήσουμε να διαιρέσουμε το 8 με το μηδέν. Τότε πολύ απλά θα ψάξουμε να δούμε πόσες φορές πρέπει να αφαιρέσουμε το μηδέν από το 8 ώστε να προκύψει τελικά αριθμός μικρότερος του 8. Έτσι έχουμε

Βλέπουμε λοιπόν πως δεν γίνεται να καταλήξουμε σε αριθμό μικρότερο του 0 όσες φορές και να αφαιρέσουμε το 0 από το 8. Δηλαδή η διαδικασία αφαίρεσης θα μπορούσε να επαναληφθεί άπειρες φορές χωρίς να έχουμε κάποιο αποτέλεσμα. Αν επιχειρήσετε να κάνετε με κάποιο κουμπιουτεράκι διαίρεση με το μηδέν, το κουμπιουτεράκι πραγματικά θα τρελαθεί προσπαθώντας να κάνει άπειρες αφαιρέσεις. Έτσι στο τέλος θα δείξει στην οθόνη του error.

Από τον παραπάνω συλλογισμό θα μπορούσε κάποιος να ισχυριστεί πως το αποτέλεσμα της διαίρεσης ενός αριθμού π.χ. 1 είναι ίσο με άπειρο, οπότε
Αυτό είναι λογικό αλλά δεν είναι σωστό από μαθηματική άποψη. Ο πρώτος λόγος είναι ο εξής: Αφού αυτό ισχύει για το 1 θα ισχύει και για το 2 και το 3 κτλ. Δηλαδή
Αυτό όμως υπονοεί πως 1=2=3 κάτι που προφανώς δεν ισχύει. Ο δεύτερος λόγος είναι πως υπάρχει το θετικό και το αρνητικό άπειρο. Αν πάρουμε τα όρια της συνάρτησης 1/x καθώς το x τείνει στο μηδέν από τα θετικά και τα αρνητικά έχουμε
Βλέπουμε δηλαδή πως αν πλησιάζουμε στο μηδέν από τις αρνητικές τιμές του x παίρνουμε διαφορετικό αποτέλεσμα απ' ότι αν πλησιάζουμε στο μηδέν από τις θετικές τιμές του x. Αυτό φαίνεται στο σχήμα 2, όπου βλέπουμε την γραφική παράσταση της συνάρτησης 1/x.

σχήμα 2, πλησιάζοντας το μηδέν από διαφορετικές κατευθύνσεις οδηγούμαστε σε
διαφορετικά αποτελέσματα.
Συνεπώς το να διαιρέσουμε έναν αριθμό με το μηδέν δεν μας υποδεικνύει από ποια κατεύθυνση πλησιάζουμε το μηδέν με αποτέλεσμα το να γράψουμε
να είναι λάθος. Εξάλλου το άπειρο δεν είναι αριθμός ώστε να είναι το αποτέλεσμα κάποιας πράξης. Απλώς είναι μία μαθηματική έννοια.

Αν δεν μπορείτε να θυμάστε αυτούς τους λόγους, πριν επιχειρήσετε να διαιρέσετε με το μηδέν φέρτε την ακόλουθη εικόνα στο μυαλό σας:


Πηγή εικόνας: http://www.demotivationalinc.com/photo/view/1021#.VWcBO8_tlBc

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου