Σάββατο, 30 Μαΐου 2015

Διανυσματική ροή

Πολλές φορές σε διάφορους τομείς των θετικών επιστημών χρησιμοποιούμε διανυσματικά πεδία ώστε να περιγράψουμε ορισμένες ιδιότητες του χώρου. Παραδείγματος χάριν, υπάρχουν τα ηλεκτρικά πεδία που μας δίνουν την δυνατότητα να καθορίσουμε την δύναμη πάνω σε ένα ηλεκτρικό φορτίο. Συχνά όμως μας ενδιαφέρει να υπολογίσουμε την διανυσματική ροή ενός τέτοιου πεδίου. Παρακάτω θα δούμε τι ακριβώς είναι η διανυσματική ροή και τι είδη διανυσματικών ροών υπάρχουν.

Για να καταλάβουμε τι είναι διανυσματική ροή ας φανταστούμε ένα πεδίο ροής V ενός ρευστού. Το πεδίο αυτό μας βοηθάει να υπολογίσουμε την ταχύτητα ενός ρευστού σε ένα σημείο του χώρου, δηλαδή
Έστω τώρα ότι τοποθετούμε μία επιφάνεια Α μέσα στον χώρο ροής. Πως μπορούμε να υπολογίσουμε τον όγκο ρευστού που διαρρέει την επιφάνεια αυτή στην μονάδα του χρόνου;

Αρχικά θα χωρίσουμε την επιφάνεια Α σε στοιχειώδη τμήματα dA. Σε κάθε στοιχειώδες τμήμα dA αντιστοιχεί ένα μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα n (σχήμα 1a). Έστω ότι V είναι το πεδίο ταχύτητας στο σημείο που βρίσκεται το dA. Έτσι ο όγκος ρευστού που διαρρέει την επιφάνεια dA στην περίπτωση που αυτή είναι κάθετη με το διάνυσμα V είναι VdAdt καθώς το ρευστό μέσα σε χρόνο dt μετακινείται κατά Vdt (σχήμα 1b). Στην περίπτωση που το διάνυσμα V δεν είναι κάθετο στην επιφάνεια dA πολλαπλασιάζουμε το V με το συνημίτονο της γωνίας θ (η γωνία μεταξύ των V και n) ώστε να ανάγουμε τον όγκο ρευστού στο κεκλιμένο πλέον dA. Έτσι ο όγκος ρευστού που διέρχεται από την επιφάνεια dA μέσα σε χρονικό διάστημα dt είναι
Όμως έτσι όπως ορίσαμε το διάνυσμα n ισχύει
και ως εκ τούτου ο όγκος ρευστού που διέρχεται από μία επιφάνεια dA σε χρόνο dt είναι

σχήμα 1, (a) φαίνεται το διάνυσμα n που είναι κάθετο σε μία επιφάνεια dA μέσα στον χώρο ροής, (b) ο όγκος ρευστού που διέρχεται από την επιφάνεια dA μέσα σε χρόνο dt είναι VdAdt.

Συνεπώς ο όγκος ρευστού που διέρχεται από την επιφάνεια dA στην μονάδα του χρόνου είναι

Σε αυτό το σημείο μπορούμε να ορίσουμε το διάνυσμα dA για το οποίο ισχύει
Οπότε ισχύει

Για να υπολογίσουμε τον συνολικό όγκο ρευστού Q που διαρρέει διαμέσου της επιφάνειας Α στην μονάδα του χρόνου αθροίζουμε τους όγκους ρευστού που διέρχονται από κάθε στοιχείο επιφάνειας dA στην μονάδα του χρόνου. Έτσι έχουμε
To Q αποτελεί την διανυσματική ροή του πεδίου ροής V διαμέσου της επιφάνειας Α. Στην υδραυλική το Q ονομάζεται παροχή.

Μπορούμε να γενικεύσουμε την έννοια της διανυσματικής ροής και στα υπόλοιπα διανυσματικά πεδία. Οπότε ορίζουμε την ηλεκτρική ροή διαμέσου μίας επιφάνειας ως
την μαγνητική ροή ως
και την βαρυτική ροή ως
όπου E, B και g το ηλεκτρικό, το μαγνητικό και το βαρυτικό πεδίο αντίστοιχα.

Ας δούμε ορισμένα παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Έχουμε έναν δίσκο με ακτίνα 0.05 m που σχηματίζει γωνία 60 μοίρες με ένα ομογενές πεδίο βαρύτητας g=10 m/s2 που έχει φορά προς τα δεξιά (σχήμα 2). Πόση είναι η ολική βαρυτική ροή διαμέσου του δίσκου; Τι θα γίνει αν ο δίσκος στραφεί ώστε να σχηματίζει γωνία 90 μοίρες με το πεδίο και τι θα γίνει αν στραφεί ώστε να σχηματίζει γωνία 0 μοιρών;

σχήμα 2, ένας δίσκος που σχηματίζει γωνία 60 μοιρών με ένα ομογενές βαρυτικό
πεδίο.
Ισχύει για το εσωτερικό γινόμενο των g και dA πως
οπότε για την βαρυτική ροή έχουμε
Όμως τα g και θ είναι σταθερά συνεπώς
Επίσης για τον δίσκο ισχύει
Έτσι καταλήγουμε στον εξής τύπο για την βαρυτική ροή διαμέσου του δίσκου
Για την περίπτωση που θ=60 μοίρες έχουμε
Αν όμως θ=90 μοίρες από τον τύπο (1) έχουμε
αφού cos(90)=0. Αυτό θα μπορούσε να εξηγηθεί ως εξής: Όταν ο δίσκος είναι παράλληλος στο πεδίο δεν περνάνε από μέσα του δυναμικές γραμμές, δηλαδή δεν τον "διαρρέει" πεδίο και έτσι η διανυσματική ροή είναι μηδέν.

Στην περίπτωση που θ=0 έχουμε
Αυτή η μαγνητική ροή είναι η μέγιστη που μπορεί να διέλθει διαμέσου του συγκεκριμένου δίσκου για το συγκεκριμένο πεδίο αφού cos(0)=1 δηλαδή το συνημίτονο παίρνει την μέγιστη τιμή του. Αυτό σημαίνει πως μέσα από τον δίσκο περνάει ο μέγιστος αριθμός δυναμικών γραμμών με αποτέλεσμα να μεγιστοποιείται η διανυσματική ροή. Έτσι όταν περιστρέφουμε τον δίσκο από τις 0 μοίρες στις 90 η διανυσματική ροή κινείται από την μέγιστη τιμή της στην ελάχιστη.

Παράδειγμα 2

Έστω ότι έχουμε το παραβολοειδές εκ περιστροφής
και το ηλεκτρικό πεδίο
όπου τα x και y μετριούνται σε m και το E σε N/C. Βρείτε την ηλεκτρική ροή διαμέσου του παραβολοειδούς εκ περιστροφής.

Αρχικά, το πρόβλημα μας θα λυθεί πιο εύκολα αν μετατρέψουμε τις εξισώσεις μας σε κυλινδρικές συντεταγμένες. Έτσι το παραβολοειδές γράφεται
και το ηλεκτρικό πεδίο γίνεται
Έτσι για να υπολογίσουμε την ηλεκτρική ροή πρέπει να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα
Αφού χρησιμοποιούμε κυλινδρικές συντεταγμένες πρέπει να εκφράσουμε το dA συναρτήσει των dφ και dr. Σχεδιάζουμε λοιπόν το σχήμα 3 και βλέπουμε πως ισχύει

σχήμα 3, (a) η σχέση του στοιχειώδους τμήματος dA στις κυλινδρικές συντεταγμένες με τα dθ, dz, dr και r (b) η πλάγια όψη μιας στοιχειώδους επιφάνειας dA.
Αυτό συμβαίνει γιατί όπως βλέπουμε στο σχήμα 3b η μία διάσταση της στοιχειώδους επιφάνειας είναι
και η άλλη ισούται με rdφ (σχήμα 3a). Επίσης από το σχήμα 3b προκύπτει πως
Έτσι η ηλεκτρική ροή γίνεται

Το r για το συγκεκριμένο παραβολοειδές κυμαίνεται από το 0 μέχρι το ρίζα 5 ενώ το φ από 0 έως 2π. Αυτό το ολοκλήρωμα είναι πολύ δύσκολο να λυθεί. Όμως ισχύει
Συνεπώς έχουμε
Οπότε η ηλεκτρική ροή ισούται με
Στο ίδιο αποτέλεσμα θα είχαμε καταλήξει αν υπολογίζαμε την ηλεκτρική ροή του πεδίου αυτού διαμέσου ένα κύκλου με ακτίνα το ρίζα 5. Αυτό είναι λογικό αφού οι δυναμικές γραμμές που διέρχονται από το παραβολοειδές εκ περιστροφής είναι οι ίδιες με αυτές που διέρχονται από τον κύκλο με εξίσωση

Πηγή: Εισαγωγή στην θεωρία του δυναμικού, Δημήτριος Ν. Αράμπελος
          Πανεπιστημιακή φυσική, Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου