Κυριακή, 7 Ιουνίου 2015

Η έννοια της ελαστικότητας

Σε αυτή την ανάρτηση θα εξετάσουμε μία μαθηματική έννοια η οποία πολλές φορές χρησιμοποιείται αντί της παραγώγου κυρίως σε προβλήματα οικονομικής φύσης ή σε προβλήματα μεταφορών. Η έννοια αυτή είναι η ελαστικότητα. Ο λόγος που η ελαστικότητα χρησιμοποιείται σε αρκετά προβλήματα είναι πως δεν έχει μονάδες σε αντίθεση με την παράγωγο.

Συγκεκριμένα, αν έχουμε μία γραμμική συνάρτηση της μορφής
η παράγωγος της ισούται με
Όμως αν το x μετριέται πχ σε m και το f(x) σε ευρώ τότε πρέπει το a (και συνεπώς η παράγωγος) να έχει μονάδες ευρώ ανά m. Έτσι για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα ορίζουμε την ελαστικότητα e της f(x) ως την ποσότητα για την οποία ισχύει η σχέση
Η ελαστικότητα είναι αδιάστατη, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Επίσης, δεν επηρεάζεται από τις μονάδες της συνάρτησης f(x). Ας δούμε ένα παράδειγμα για να δούμε τι σημαίνει αυτό.

Έστω ότι έχουμε δύο συναρτήσεις και εκφράζουν την υδροστατική πίεση p. Όπως γνωρίζουμε η υδροστατική πίεση αυξάνεται γραμμικά με το βάθος h οπότε ισχύει
όπου w το ειδικό βάρος του νερού. Το ειδικό βάρος του νερού ισούται με 9810 N/m3 στην περίπτωση που το h μετριέται σε m και θέλουμε να εκφράσουμε το p σε N/m2. Συνεπώς μία μορφή της παραπάνω συνάρτησης είναι η

Αν όμως θέλουμε να εκφράσουμε το p σε kN/m2, θέτουμε το ειδικό βάρος ίσο με 9.81 kN/m3 με αποτέλεσμα να προκύπτει η συνάρτηση
Οι συναρτήσεις (1) και (2) εκφράζουν ακριβώς την ίδια σχέση. Όμως η παράγωγος της (1) ισούται με 9810 και η παράγωγος της (2) με 9.81 . Αν όμως υπολογίσουμε τις ελαστικότητες αυτών των συναρτήσεων προκύπτει πως η ελαστικότητα και των δύο ισούται με 1 αφού για την συνάρτηση (1) ισχύει
και για την συνάρτηση (2) ισχύει

Η έννοια της ελαστικότητας χρησιμοποιείται κυρίως στα οικονομικά, όμως πολλοί συγκοινωνιολόγοι την χρησιμοποιούν επίσης καθώς και στις μεταφορές θέτονται προβλήματα ζήτησης και προσφοράς. 

Ας δούμε την σημασία των καμπυλών ζήτησης και προσφοράς στις μεταφορές. Η καμπύλη ζήτησης εκφράζει πως όσο μειώνεται το κόστος της μεταφοράς τόσο πιο πολύ θέλει ο καταναλωτής (οδηγός) να μετακινείται, ενώ η καμπύλη προσφοράς εκφράζει πως όσο αυξάνεται το κόστος τόσο πιο πολύ θέλει ο παραγωγός να μετακινείται ο καταναλωτής. Αυτό είναι λογικό αφού αν πχ μειωθεί το κόστος της βενζίνης οι καταναλωτές θέλουν να μετακινούνται πιο συχνά αφού τους κοστίζει λιγότερο, ενώ αν αυξηθεί το κόστος της βενζίνης οι παραγωγοί (αυτοί που πουλάνε βενζίνη) θέλουν οι οδηγοί να μετακινούνται περισσότερο ώστε να έχουν μεγαλύτερο κέρδος. Στο σχήμα 1 μπορούμε να δούμε μία καμπύλη ζήτησης και μία καμπύλη προσφοράς.

σχήμα 1, με κίτρινο χρώμα φαίνεται η καμπύλη ζήτησης και με κόκκινο η
καμπύλη προσφοράς.
Η ελαστικότητα των καμπυλών ζήτησης και προσφοράς εκφράζει το πως επηρεάζεται η ζήτηση και η προσφορά με την μεταβολή του κόστους. Τέλος, μπορούμε να δούμε πως αυτές οι δύο καμπύλες τέμνονται σε ένα σημείο, το οποίο ονομάζεται σημείο ισορροπίας. Το σημείο ισορροπίας, λοιπόν, είναι το σημείο στο οποίο η προσφορά είναι ίση με την ζήτηση.

Παράδειγμα

Έστω πως η ελαστικότητα της καμπύλης ζήτησης είναι
και η ελαστικότητα της καμπύλης προσφοράς είναι
όπου P το κόστος (ανεξάρτητη μεταβλητή) και a1, a2, b1 και b2 ορισμένες σταθερές. Βρείτε τις καμπύλες προσφοράς και ζήτησης θεωρώντας ότι οι σταθερές ολοκλήρωσης είναι μηδενικές. Έπειτα βρείτε το σημείο ισορροπίας.

Από τον ορισμό της ελαστικότητας έχουμε
και

Οπότε έχουμε δύο διαφορικές εξισώσεις. Για την πρώτη ισχύει
Συνεπώς αυτή είναι η καμπύλη ζήτησης. Με τον ίδιο τρόπο προκύπτει πως η καμπύλη προσφοράς είναι η

Για να βρούμε το σημείο ισορροπίας έχουμε
Συνεπώς, για αυτή την τιμή του P η ζήτηση θα είναι ίση με την προσφορά.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου