Κυριακή, 28 Ιουνίου 2015

Δύο εφαρμογές της υδροστατικής πίεσης

Υδροστατική πίεση είναι η πίεση που ασκείται από το ρευστό στην περίπτωση που αυτό είναι ακίνητο (στάσιμο). Συγκεκριμένα οι λεπτομέρειες της υδροστατικής πίεσης αναλύονται στην ανάρτηση Υδροστατική πίεση. Έτσι παρακάτω θα δούμε δύο εφαρμογές, από τις οποίες η μία θα αφορά τα υγρά και η άλλη τα αέρια.

Η πρώτη εφαρμογή αφορά τα συγκοινωνούντα δοχεία. Αν τοποθετήσουμε μέσα σε ένα δοχείο σχήματος U δύο ρευστά διαφορετικής πυκνότητας τότε θα δούμε πως οι ελεύθερες επιφάνειες των δύο ρευστών δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (σχήμα 1). Πως όμως εξηγείται η υψομετρική διαφορά των επιφανειών των δύο υγρών;

σχήμα 1, το υγρό που φαίνεται με κίτρινο χώμα είναι λάδι και το υγρό με ασημένιο
χρώμα είναι υδράργυρος.
Έστω ότι τα ρευστά του σχήματος 1 είναι λάδι (φαίνεται με κίτρινο χρώμα) και υδράργυρος (φαίνεται με ασημί χρώμα). Το λάδι έχει πυκνότητα ρ1=800 kg/m3 ενώ ο υδράργυρος έχει πυκνότητα ρ2=13600 kg/m3. Για να βρούμε τον λόγο των βαθών h1 και h2 αρκεί να σκεφτούμε πως η πίεση στο σημείο Α (το οποίο είναι τοποθετημένο στην διαχωριστική επιφάνεια των δύο υγρών) μπορεί να υπολογιστεί με δύο τρόπους:

1) Μπορούμε να θεωρήσουμε πως η πίεση στο σημείο Α προκαλείται από το βάρος του λαδιού, δηλαδή
αφού η υδροστατική πίεση δεν εξαρτάται από το σχήμα του δοχείου.

2) Η πίεση στο σημείο Α προκαλείται από το βάρος του υδράργυρου, δηλαδή

Συνεπώς, εξισώνοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε
Οπότε βλέπουμε ότι το h1 είναι 17 φορές μεγαλύτερο του h2.

Η δεύτερη εφαρμογή αφορά την εξαγωγή ενός απλού και προσεγγιστικού τύπου που υπολογίζει την ατμοσφαιρική πίεση σε διάφορα υψόμετρα. Αφού ο αέρας είναι και αυτός ρευστό ισχύει
Ο τύπος αυτός είναι η εξίσωση της υδροστατικής πίεσης γραμμένη σε διαφορική μορφή. Το αρνητικό πρόσημο οφείλεται στο γεγονός ότι ως μεταβλητή μας δεν έχουμε το βάθος h αλλά το υψόμετρο z που αυξάνονται προς αντίθετες κατευθύνσεις.

Ο λόγος που επιλέξαμε την διαφορική μορφή της εξίσωσης της υδροστατικής πίεσης είναι πως η πυκνότητα μεταβάλλεται καθώς μεταβάλλεται το z και συνεπώς δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση

Οπότε πρέπει να συσχετίσουμε την πυκνότητα με το υψόμετρο. Αυτό γίνεται με την καταστατική εξίσωση των αερίων που μπορεί να γραφτεί
όπου Μ είναι η μοριακή μάζα του αέρα (αν θεωρήσουμε ότι αποτελείται μόνο από ένα αέριο), R μία σταθερά και Τ η θερμοκρασία (την οποία και στο συγκεκριμένο παράδειγμα θα θεωρήσουμε σταθερή). Έτσι προκύπτει η διαφορική εξίσωση
Η εξίσωση αυτή λύνεται με την μέθοδο των χωρισμένων μεταβλητών και συνεπώς προκύπτει:

Η σταθερά ολοκλήρωσης c μπορεί να υπολογιστεί αν σκεφτούμε πως η πίεση στην επιφάνεια της θάλασσας (z=0) είναι 1 atm. Επομένως
Έτσι μία προσεγγιστική εξίσωση που δίνει την ατμοσφαιρική πίεση για διάφορα υψόμετρα είναι η

Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου