Παρασκευή, 12 Ιουνίου 2015

Δημιουργία γραφημάτων αποσβενόμενων ταλαντώσεων με την βοήθεια H/Y

Οι αποσβενόμενες ταλαντώσεις είναι ταλαντώσεις σωμάτων τα οποία κατά την διάρκεια της κίνησης τους χάνουν ενέργεια λόγω τριβών. Συνεπώς αυτό το είδος των ταλαντώσεων είναι πιο κοντά στην πραγματικότητα σε σχέση με τις αρμονικές ταλαντώσεις όπου το σώμα δεν χάνει καθόλου ενέργεια. Σε αυτή την ανάρτηση θα αναλύσουμε την εξίσωση κίνησης των αποσβενόμων ταλαντώσεων και θα δούμε πως σχεδιάσουμε την γραφική παράσταση μίας τέτοιας ταλάντωσης.

Στο σχήμα 1a μπορούμε να δούμε ένα ακίνητο σώμα μάζας m πάνω σε ένα τραχύ επίπεδο. Στην αριστερή πλευρά του σώματος είναι συνδεδεμένο ένα ελατήριο του οποίου το άλλο άκρο είναι προσκολλημένο στον τοίχο. Το ελατήριο σε αυτή την θέση δεν είναι παραμορφωμένο με αποτέλεσμα να μην ασκείται οριζόντια δύναμη στο σώμα.

σχήμα 1, (a) το σώμα είναι ακίνητο πάνω σε ένα οριζόντιο επίπεδο, (b) κάποια χρονική στιγμή το εκτρέπουμε από την θέση ισορροπίας του με αποτέλεσμα να κινηθεί.

Κάποια χρονική στιγμή, εκτρέπουμε το σώμα προς τα δεξιά κατά ένα συγκεκριμένο μήκος. Από την στιγμή που το εκτρέπουμε το ελατήριο παραμορφώνεται με αποτέλεσμα να ασκείται δύναμη F στο σώμα η οποία το ωθεί προς τα αριστερά. Έτσι το σώμα ξεκινάει να κινείται. Όμως εξαιτίας της κίνησης αυτής, στο σώμα ασκείται και δύναμη τριβής Τ. Επίσης σε αυτό ασκείται το βάρος του W και η αντίδραση N που δέχεται από το δάπεδο. Οι δυνάμεις αυτές φαίνονται στο σχήμα 1b.

Για να βρούμε την εξίσωση κίνησης πρέπει να εφαρμόσουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα κατά την οριζόντια διεύθυνση. Δηλαδή για το σώμα γράφουμε
Όμως αφού οι οριζόντιες δυνάμεις είναι οι F και T έχουμε
Η δύναμη F δίνεται από τον νόμο του Hooke, δηλαδή
όπου k η σταθερά του ελατηρίου. Στην συνέχεια, υποθέτουμε πως η δύναμη τριβής είναι ανάλογη της ταχύτητας u του σώματος, δηλαδή
Το b είναι μία σταθερά αναλογίας και το αρνητικό πρόσημο οφείλεται στο ότι η τριβή αντιτίθεται στην κίνηση του σώματος. Έτσι ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα γράφεται
Όμως η ταχύτητα είναι η πρώτη παράγωγός της μετατόπισης και η επιτάχυνση είναι η δεύτερη παράγωγος της μετατόπισης, δηλαδή (χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό του Νεύτωνα) ισχύει
Οπότε προκύπτει η εξής διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση του σώματος:
Στην ανάρτηση Επίλυση μη ομογενών διαφορικών εξισώσεων v τάξης είδαμε πως μπορούμε να επιλύσουμε διαφορικές εξισώσεις όπως η (1). Συγκεκριμένα αυτή η εξίσωση είναι μία ομογενής διαφορική εξίσωση αφού μπορεί να γραφτεί ως
Η χαρακτηριστική της εξίσωση είναι η
η οποία έχει ως λύσεις τις
Ορίζουμε την ποσότητα ω, που την ονομάζουμε γωνιακή συχνότητα ταλάντωσης, ως
και συνεπώς οι λύσεις της χαρακτηριστικής εξίσωσης γίνονται

Αν
η γωνιακή συχνότητα είναι πραγματικός αριθμός και η λύση της διαφορικής εξίσωσης (2) είναι

Αυτή η λύση αντιπροσωπεύει έναν κύκλο που κινείται στο μιγαδικό επίπεδο. Όπως γνωρίζουμε η προβολή της κυκλικής κίνησης σε έναν άξονα είναι αρμονική κίνηση. Συνεπώς για να καταλήξουμε στην εξίσωση κίνησης προβάλουμε την παραπάνω εξίσωση στον πραγματικό άξονα, δηλαδή κρατάμε το πραγματικό μέρος της. Έτσι προκύπτουν δύο πραγματικές λύσεις. Αν c1 και c2 είναι πραγματικοί αριθμοί τότε το πραγματικό μέρος είναι το
ενώ αν c1 και c2 είναι φανταστικοί αριθμοί το πραγματικό μέρος είναι το
Επομένως, αν θέσουμε
έχουμε δύο πραγματικές λύσεις της γραμμικής διαφορικής εξίσωσης (1), οι οποίες είναι οι

Συνεπώς, η γενική λύση της (1) είναι το άθροισμα αυτών των δύο λύσεων, δηλαδή έχουμε
Η παραπάνω λύση μπορεί να γραφτεί στην μορφή
με την βοήθεια της τριγωνομετρικής σχέσης


Η εξίσωση (3) είναι η εξίσωση κίνησης του σώματος του προβλήματος μας στην περίπτωση που το ω είναι πραγματικός και μη μηδενικός αριθμός. Τα Α και φ0 είναι δύο σταθερές που ονομάζονται πλάτος και αρχική φάση αντίστοιχα. Αυτές οι δύο ποσότητες προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες του προβλήματος μας.

Ας δούμε τώρα μερικές γραφικές παραστάσεις αποσβενόμενων ταλαντώσεων τις οποίες θα δημιουργήσουμε με το excel. Για να μπορέσουμε να τις σχεδιάσουμε, υπολογίζουμε με την βοήθεια της εξίσωσης (3) τα x που αντιστοιχούν σε διάφορες χρονικές στιγμές πχ ανά 1 sec. Για να κάνουμε την πρώτη γραφική παράσταση ας υποθέσουμε πως A=10 cm, b=0.2 kg/s, m=1 kg, k=0.5 kg/s2 και φ0=0 rad. Για τον χρόνο θα χρησιμοποιήσουμε βήμα 0.2 sec. Έτσι προκύπτει το γράφημα 1.

γράφημα 1, Α=10 cm, b=0.2 kg/s, m=1 kg, k=0.5 kg/s2 και φ0=0 rad.

Στο γράφημα 1 βλέπουμε πως το σώμα ταλαντώνεται ολοένα με μικρότερο πλάτος. Όταν ο χρόνος γίνει πολύ μεγάλος το σώμα σταματάει να ταλαντώνεται. Αυτό συμβαίνει γιατί εξαιτίας των τριβών έχει χάσει όλη την μηχανική του ενέργεια.

Ας δοκιμάσουμε να επιλέξουμε μεγαλύτερο b. Έτσι επιλέγουμε το b=0.4 kg/s με αποτέλεσμα να προκύπτει το γράφημα 2.
γράφημα 2, Α=10 cm, b=0.4 kg/s, m=1 kg, k=0.5 kg/s2 και φ0=0 rad.

Παρατηρούμε πως η απόσβεση της ταλάντωσης έγινε πολύ πιο γρήγορα αφού μετά από t=20 sec το σώμα έχει σχεδόν μηδενικό πλάτος. Αυτό είναι λογικό αν σκεφτούμε πως όσο αυξάνεται το b αυξάνονται και οι τριβές με αποτέλεσμα να χάνεται πιο γρήγορα η μηχανική ενέργεια του συστήματος.

Ας δοκιμάσουμε τώρα να μεταβάλλουμε το k και συγκεκριμένα ας υποθέσουμε ότι έχουμε A=10 cm, b=0.2 kg/s, m=1 kg, k=1 kg/s2 και φ0=π/2 rad. Η γραφική παράσταση που προκύπτει από αυτά τα δεδομένα φαίνεται στο γράφημα 3.

γράφημα 3, Α=10 cm, b=0.2 kg/s, m=1 kg, k=1 kg/s2 και φ0=π/2 rad.
Παρατηρούμε πως σε σχέση με το γράφημα 1 η συχνότητα της ταλάντωσης έχει αυξηθεί στο γράφημα 3. Αυτό συμβαίνει γιατί μεγαλύτερο k συνεπάγεται μεγαλύτερο ω. Συγκεκριμένα στο σχήμα 1 η συχνότητα ταλάντωσης είναι 0.70 rad/s ενώ στο γράφημα 3 είναι 0.99 rad/s. Επίσης, αφού η αρχική φάση είναι διάφορη του μηδενός το σώμα δεν ξεκινάει την χρονική στιγμή t=0 να ταλαντώνεται από την ακραία θέση του αλλά ξεκινάει την ταλάντωση του από την θέση ισορροπίας του.

Έπειτα ας μεταβάλουμε το A. Έστω πως το σύστημα που θέλουμε να μελετήσουμε έχει αρχικό πλάτος A=20 cm και οι άλλες μεταβλητές είναι b=0.2 kg/s, m=1 kg k=0.5 kg/s2 και φ0=0 rad. Συνεπώς προκύπτει το γράφημα 4.

γράφημα 4, Α=20 cm, b=0.2 kg/s, m=1 kg, k=0.5 kg/s2 και φ0=0 rad.
Η απόσβεση στο γράφημα 4 συμβαίνει ακριβώς στον ίδιο χρόνο με το γράφημα 1. Αυτό συμβαίνει γιατί για την απόσβεση είναι υπεύθυνος ο εκθετικός όρος ο οποίος δεν επηρεάζεται από το πλάτος.

Στην συνέχεια ας εξετάσουμε την ειδική περίπτωση που b=0. Τότε προκύπτει πως
και συνεπώς η κίνηση του σώματος είναι αρμονική ταλάντωση. Αν το δούμε λογικά δεν υπάρχει απόσβεση καθώς δεν υπάρχει τριβή με αποτέλεσμα η μηχανική ενέργεια του συστήματος να παραμένει σταθερή. Αν επιλέξουμε A=10 cm, m=0.5 kg, k=0.5 kg/s2 και φ0=0 rad προκύπτει το γράφημα 5.

γράφημα 5, Α=10 cm, b=0 kg/s, m=0.5 kg, k=0.5 kg/s2 και φ0=0 rad.
Σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις ισχύει
Τι θα συμβεί όμως αν

Στην περίπτωση που
έχουμε κρίσιμη απόσβεση, δηλαδή αν το σώμα εκτραπεί από την θέση ισορροπίας του, επιστρέφει σε αυτή χωρίς να εκτελέσει ταλάντωση. Σε αυτή την περίπτωση η γωνιακή συχνότητα είναι μηδενική και η χαρακτηριστική εξίσωση παρουσιάζει διπλή ρίζα με τιμή
με αποτέλεσμα η εξίσωση κίνησης να είναι η
όπου c1 και c2 δύο σταθερές που ορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

Αν για ένα κρίσιμα αποσβενόμενο σύστημα έχουμε b=4 kg/s2, k=4 kg/s και m=1 kg ενώ από τις αρχικές συνθήκες προκύπτει c1=0.1 m και c2=0.2 m/s έχουμε την κίνηση που φαίνεται στο γράφημα 6.

γράφημα 6, m=1 kg, k=4 kg/s, b=4 kg/s2, c1=0.1 m και c2=0.2 m/s.
Παρατηρούμε πως το σώμα επανέρχεται στην θέση ισορροπίας του χωρίς να ταλαντωθεί.

Τέλος, αν ισχύει
το σύστημα πραγματοποιεί υπεραπόσβεση. Και σε αυτή την περίπτωση δεν πραγματοποιείται ταλάντωση, δηλαδή όταν το σώμα εκτραπεί από την θέση ισορροπίας του επιστρέφει σε αυτήν αμέσως. Επίσης, σε αυτή την περίπτωση προκύπτουν νέες εξισώσεις κίνησης αφού η γωνιακή συχνότητα είναι φανταστικός αριθμός καθώς
Οι λύσεις της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι πραγματικοί αριθμοί και είναι οι
με αποτέλεσμα η εξίσωση κίνησης να είναι η

Αν για παράδειγμα έχουμε ένα σύστημα του οποίου τα χαρακτηριστικά είναι τα k=1 kg/s, m=1 kg και b=2.5 kg/s2 και οι αρχικές συνθήκες είναι c1=0.1 m και c2=0.15 m προκύπτει η κίνηση που φαίνεται στο γράφημα 7.

γράφημα 7, m=1 kg, k=1 kg/s, b=2.5 kg/s2, c1=0.1 m και c2=0.15 m
Βλέπουμε λοιπόν πως και σε αυτή την περίπτωση το σώμα δεν ταλαντώνεται όπως ακριβώς στην περίπτωση της κρίσιμης απόσβεσης.

Συνοψίζοντας, ανάλογα με το αν η γωνιακή συχνότητα του συστήματος είναι πραγματικός αριθμός, μηδέν ή φανταστικός αριθμός προκύπτουν τρεις διαφορετικές περιπτώσεις κίνησης. Όμως και οι τρεις περιπτώσεις χαρακτηρίζονται από την ίδια διαφορική εξίσωση.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου