Κυριακή, 26 Ιουλίου 2015

Διάμετρος φλέβας νερού

Όταν πάει κάποιος σε μία βρύση για να πλύνει τα χέρια του ή το πρόσωπο του μπορεί να παρατηρήσει πως η φλέβα νερού που δημιουργείται μετά το άνοιγμα της βρύσης έχει μεταβλητό πάχος. Συγκεκριμένα όσο απομακρύνεται το νερό από την βρύση τόσο μικρότερη διάμετρο έχει η φλέβα. Στην ανάρτηση αυτή θα δούμε μία εφαρμογή που εξηγεί το φαινόμενο αυτό.

Έχουμε, λοιπόν, την βρύση του σχήματος 1 η οποία δημιουργεί μία φλέβα νερού. Καθώς το νερό κατευθύνεται προς τα κάτω η διατομή της φλέβας μειώνεται. Αν δ1=0.5 cm είναι η διάμετρος της φλέβας στην διατομή ΑΑ', δηλαδή μόλις το νερό εξέρχεται από την βρύση, βρείτε την διάμετρο δ2 της φλέβας στην διατομή BB'. Ως δεδομένα χρησιμοποιήστε πως η απόσταση αυτών των δύο διατομών είναι h=5 cm και πως η ταχύτητα του ρευστού στην διατομή AA' είναι ίση με u1=1 m/s.

σχήμα 1, μία φλέβα νερού "τρέχει" από μία βρύση. Η απόσταση των διατομών
AA' και BB' είναι h.
Για να βρούμε μία σχέση μεταξύ των δ1 και δ2 αρκεί να σκεφτούμε πως για την φλέβα νερού ισχύει η εξίσωση συνέχειας. Δηλαδή αν Π1 είναι η παροχή στην διατομή AA' και Π2 είναι η παροχή στην διατομή BB' έχουμε
Από τον ορισμό της παροχής γνωρίζουμε πως η παροχή Π σε μία διατομή ισούται με την ταχύτητα του ρευστού u σε αυτή την διατομή επί το εμβαδόν A της διατομής, δηλαδή
Αν συγκεκριμένα αναφερόμαστε σε κυκλικές διατομές, ισχύει
όπου δ είναι η διάμετρος της διατομής (προσοχή μην γίνει μπέρδεμα του π=3.14... και της παροχής Π).

Επομένως, εάν με u2 συμβολίσουμε την ταχύτητα του νερού στην διατομή ΒΒ' αντίστοιχα, η εξίσωση (1) γίνεται

Όποτε από την εξίσωση (2) γίνεται φανερό πως στην περίπτωση που θέλουμε να βρούμε μία σχέση μεταξύ των δ1 και δ2 πρέπει να συσχετίσουμε τα u1 και u2. Αυτό μπορούμε να το πετύχουμε με την εξίσωση Bernoulli. Έτσι αν θεωρήσουμε πως έχουμε δύο σημεία 1 και 2 τα οποία κατ' αντιστοιχία βρίσκονται πάνω στις διατομές ΑΑ' και ΒΒ', η εξίσωση Bernoulli γράφεται
όπου ρ είναι η πυκνότητα του νερού, z1 και z2 οι υψομετρικές θέσεις των σημείων 1 και 2 και p1 και p2 είναι οι πιέσεις των σημείων 1 και 2. Η εξίσωση (3) απλοποιείται καθώς η πίεση στα σημεία 1 και 2 είναι ατμοσφαιρική και ως εκ τούτου μηδενική. Δηλαδή έχουμε

Επίσης, η υψομετρική διαφορά των σημείων 1 και 2 είναι ίση με h οπότε ισχύει
Συνεπώς, η εξίσωση (3) γράφεται
Αν όμως διαιρέσουμε κατά μέλη με το ρ/2 και λάβουμε υπόψιν μας την εξίσωση (4) προκύπτει
Επομένως, συνδυάζοντας τις εξισώσεις (2) και (5) προκύπτει η σχέση
Έτσι η διάμετρος δ2 ισούται με
Κάνοντας αντικατάσταση αριθμητικές τιμές στην σχέση (6) προκύπτει πως

Το συμπέρασμα από την παραπάνω ανάλυση είναι το εξής: Καθώς το νερό πέφτει η ταχύτητα του αυξάνεται. Έτσι η διατομή της φλέβας συνεχώς μειώνεται ώστε να διατηρηθεί η παροχή σταθερή. Αυτό μπορεί να γίνει φανερό κάνοντας την γραφική παράσταση της διαμέτρου δ σε ένα σημείο της φλέβας συναρτήσει του h (σχήμα 2) με την βοήθεια της σχέσης (6).

σχήμα 2, η γραφική παράσταση της διαμέτρου δ συναρτήσει του h.
Τέλος, πρέπει να σημειωθεί πως στην διεθνή βιβλιογραφία η παροχή συνηθίζεται να συμβολίζεται με Q και οι διάμετροι με D.

2 σχόλια:

  1. το δ2, έπειτα από πράξεις προκύπτει περίπου ίσο με 0,35 cm και όχι 0,42 cm.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Θα μπορούσες να υποδείξεις που ακριβώς είναι το λάθος;

      Διαγραφή