Πέμπτη, 30 Ιουλίου 2015

Αγωγός μέσα στην θάλασσα

Πολλές φορές οι μηχανικοί αναγκάζονται να τοποθετήσουν αγωγούς μέσα στον βυθό της θάλασσας ώστε να μην προκληθούν καταστροφές από τις άγκυρες των πλοίων ή από άλλους παράγοντες. Αυτό όμως δεν είναι πάντα δυνατό αφού τα θαλάσσια ρεύματα δεν επιτρέπουν πολλές φορές την εκσκαφή του βυθού. Τότε οι υδραυλικοί μηχανικοί καλούνται να διαστρώσουν τον αγωγό πάνω στον πυθμένα της θάλασσας. Σε αυτή την ανάρτηση θα μελετήσουμε μια τέτοια διάστρωση.

Έστω πως βρισκόμαστε σε μία περιοχή όπου επικρατούν αρμονικοί κυματισμοί πλάτους Α=1 m, περιόδου T=2 s και μήκος κύματος λ. Στον πυθμένα υπάρχει αγωγός τετραγωνικής διατομής του οποίου η ακμή ισούται με d=0.5 m. Αν κάθε μέτρο του αγωγού ζυγίζει m=10 kg, βρείτε:
  1. την μέγιστη δύναμη που δέχεται από τον πυθμένα 1 m αγωγού ώστε ο αγωγός να ισορροπεί πάνω στον πυθμένα
  2. την απομάκρυνση της θαλάσσιας στάθμης, που βρίσκεται πάνω από τον αγωγό, από την θέση ηρεμίας της όταν η δύναμη που δέχεται ο αγωγός από τον βυθό ισούται με 45 kN
  3. την δύναμη που ασκεί ο πυθμένας στον αγωγό συναρτήσει του χρόνου
  4. ποιες χρονικές στιγμές η δύναμη που ασκείται από τον πυθμένα στον αγωγό έχει μέτρο ίσο με 50 kN
Υποθέστε πως το νερό γύρω από τον αγωγό είναι ακίνητο, πως λ>>d και πως η απόσταση του πυθμένα από την θέση ηρεμίας της θάλασσας είναι ίση με H=10 m. Η πυκνότητα του θαλασσινού νερού είναι ίση με ρ=1000 kg/m3.

σχήμα 1, φαίνονται οι κατακόρυφες δυνάμεις που ασκούνται στον αγωγό και
τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του προβλήματος.
Ερώτημα 1

Οι δυνάμεις που ασκούνται στον αγωγό είναι οι υδροστατικές δυνάμεις στις πλευρές του AB, BC και CD, το βάρος του W και η δύναμη από τον πυθμένα N. Αν θέλουμε να ισορροπεί ο αγωγός πρέπει να ισχύει
Οι οριζόντιες υδροστατικές δυνάμεις που ασκούνται στις πλευρές AB και CD είναι ίσες αφού το πρόβλημα μας είναι συμμετρικό, δηλαδή δεν υπάρχει λόγος να έχουν διαφορετικά μέτρα. Επομένως, η ισορροπία κατά x ισχύει ταυτοτικά. Έπειτα, για τις δυνάμεις κατά y ισχύει
Για την δύναμη F που ασκείται στην πλευρά BC έχουμε
όπου p είναι η υδροστατική πίεση που ασκείται πάνω στην πλευρά BC και E είναι το εμβαδόν της πάνω έδρας του αγωγού.

Για την υδροστατική πίεση ισχύει
όπου h είναι το βάθος της πλευράς BC. Σύμφωνα με το σχήμα 1, μία τυχαία χρονική στιγμή που η απομάκρυνση της θαλάσσιας στάθμης πάνω από τον αγωγό ισούται με y, το βάθος h ισούται με
Από την ανάλυση που κάναμε παραπάνω προκύπτει η εξίσωση
αφού είναι γνωστό πως ισχύει

Στο δεξί μέλος της εξίσωσης (2) όλα είναι σταθερά, εκτός από το y. Έτσι για να μεγιστοποιηθεί το N πρέπει να μεγιστοποιηθεί το y. Η μέγιστη τιμή του y είναι ίση με A και ως εκ τούτου η μέγιστη τιμή του Ν ισούται με
Έτσι όταν η θαλάσσια στάθμη πάνω από τον αγωγό έχει απομακρυνθεί κατά +1m από την θέση ηρεμίας της, ο αγωγός δέχεται δύναμη από τον πυθμένα ίση με 51.5 kN.

Ερώτημα 2

Για να βρούμε την απομάκρυνση του νερού όταν Ν=45 kN χρησιμοποιούμε πάλι την εξίσωση (2). Έτσι την επιλύουμε ως προς y και κάνουμε αντικατάσταση σε αυτή την τιμή του Ν που μας ενδιαφέρει. Οπότε έχουμε
Επομένως, όταν η δύναμη που ασκεί ο πυθμένας στον αγωγό ισούται με 45 kN, η απομάκρυνση της θαλάσσιας στάθμης που βρίσκεται πάνω από τον αγωγό ισούται με 0.34 m κάτω από την στάθμη ηρεμίας.

Ερώτημα 3

Η στάθμη της θάλασσας πάνω από τον αγωγό εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση αφού μπορεί να θεωρηθεί μικρό τμήμα (d<<λ) ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται αρμονικό κύμα. Ως εκ τούτου η απομάκρυνση της y από την στάθμη ηρεμίας είναι ίση με
Η κυκλική συχνότητα ω της ταλάντωσης ισούται με
Έτσι συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέσεις με την εξίσωση (2) έχουμε

Οπότε η εξίσωση (3) μας δίνει το μέτρο της δύναμης N συναρτήσει του t. Στο σχήμα 2 φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ν(t). 

σχήμα 2, η συνάρτηση Ν(t). Στον άξονα x φαίνεται  χρόνος σε seconds και στον άξονα y δίνονται οι τιμές του N σε Newtons.

Ερώτημα 4

Αν θέλουμε να υπολογίσουμε τις χρονικές στιγμές που η δύναμη Ν ισούται με 50 kN, θέτουμε στην εξίσωση (3) την τιμή Ν=50 kN και έχουμε
Η γωνία που έχει ημίτονο ίσο με 0.68 είναι ίση με θ=0.747 rad.

Έτσι
όπου k ένας ακέραιος αριθμός. Συνεπώς η δύναμη N έχει μέτρο ίσο με 50 kN τις στιγμές 0.24 s, 0.76 s, 2.24 s, 2.76 s,...

2 σχόλια:

  1. Βαγγέλη συγχαρητήρια, πολύ καλή!! Μου αρέσουν τα θέματα που άπτονται της πραγματικότητας.
    Να είσαι καλά και πάντα τέτοια.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ευχαριστώ πολύ κ. Πρόδρομε! Ελπίζω πως τέτοια θέματα που πηγάζουν από την πραγματικότητα θα κινήσουν το ενδιαφέρον των μαθητών για τα ρευστά. Η συγκεκριμένη εφαρμογή είναι ένα απλουστευμένο θέμα θαλάσσιας υδραυλικής.

      Διαγραφή