Πέμπτη, 6 Αυγούστου 2015

Δίκτυο διανομής νερού

Το νερό που φτάνει στα σπίτια μας ή το νερό που αρδεύει τις αγροτικές περιοχές συλλέγεται από την φύση. Με το πέρασμα των χρόνων ο άνθρωπος εξέλιξε διάφορες τεχνικές ώστε να συγκεντρώνει το νερό από την βροχή, από τα ποτάμια και από τον υδροφόρο ορίζοντα. Μετά την συλλογή του, το νερό αυτό με συστήματα αγωγών διανέμεται στις περιοχές όπου υπάρχει ανάγκη. Σε αυτή την ανάρτηση θα δούμε μία εφαρμογή η οποία μελετάει ένα τέτοιο σύστημα.

Έστω πως έχουμε το ορθογωνικό φράγμα του σχήματος 1. Η στάθμη του νερού μέσα στο φράγμα βρίσκεται στα H=10 m και το πλάτος του (η διάσταση κάθετη στο σχήμα 1) είναι b=50 m. Όταν δεν εκρέει νερό από το φράγμα υπολογίστε την συνολική δύναμη που δέχεται το φράγμα από το νερό.

σχήμα 1, η στάθμη του νερού μέσα στο φράγμα είναι 10 m.
Έπειτα, το φράγμα συνδέεται με σύστημα τεσσάρων αγωγών όπως φαίνεται στο σχήμα 2 με αποτέλεσμα να αρχίσει η εκροή νερού από αυτό. Οι αγωγοί (2), (3) και (4) τροφοδοτούν μία αγροτική περιοχή, το χωριό Α και το χωριό Β αντίστοιχα. Η αγροτική περιοχή έχει έκταση 100 στρέμματα, στο χωριό Α διαμένουν 1000 κάτοικοι ενώ στο χωριό Β διαμένουν 700 κάτοικοι. Έτσι αν για κάθε στρέμμα της αγροτικής περιοχής απαιτείται παροχή 3 m3/h και αν για κάθε κάτοικο των χωριών Α και Β απαιτείται παροχή 0.5 m3/h υπολογίστε:
  • την συνολική παροχή νερού που διαρρέει τον αγωγό (1) ώστε να αρδεύεται σωστά η αγροτική περιοχή και να υδρεύονται επαρκώς τα χωριά Α και Β
  • τις διαμέτρους των αγωγών (1), (2), (3) και (4) αν η ταχύτητα του νερού μέσα στους αγωγούς είναι 1.5 m/s
  • την πίεση στο σημείο σύνδεσης του αγωγού και του φράγματος συναρτήσει της στάθμης h του νερού
  • σε ποιο ύψος στάθμης η πίεση στο σημείο σύνδεσης του αγωγού και του φράγματος μηδενίζεται
Ο αγωγός (1) είναι συνδεδεμένος με το φράγμα έτσι ώστε ο άξονας του να απέχει ύψος 1 m πάνω από την βάση του φράγματος. Επίσης, υποθέστε πως η ροή του νερού δεν εμποδίζεται εξαιτίας υψομετρικών διαφορών στο δίκτυο και πως όλοι οι αγωγοί είναι κυκλικής διατομής. Η πυκνότητα του νερού ισούται με ρ=1000 kg/m3.

σχήμα 2, φαίνεται το δίκτυο διανομής νερού από πάνω. Ένα τέτοιο σχέδιο ονομάζεται οριζοντιογραφία.

Ερώτημα 1


Αρχικά πρέπει να υπολογίσουμε την δύναμη που ασκεί το νερό στο φράγμα. Για να το πετύχουμε αυτό πρέπει να σκεφτούμε πως η υδροστατική πίεση p αυξάνεται γραμμικά με το βάθος h αφού ισχύει ο τύπος
Ως εκ τούτου σε κάθε σημείο του φράγματος η πίεση έχει διαφορετική τιμή. Έτσι η λύση στο πρόβλημα μας είναι να σχεδιάσουμε το διάγραμμα κατανομή πιέσεων πάνω στο φράγμα (σχήμα 3a).

σχήμα 3, (α) το διάγραμμα κατανομής πιέσεων πάνω στο φράγμα, (b) το διάγραμμα κατανομής πιέσεων τοποθετήθηκε σε ένα σύστημα αξόνων.
Το διάγραμμα κατανομής πιέσεων μπορεί να μεταφερθεί όμως σε ένα σύστημα αξόνων (σχήμα 3b). Οι άξονες του σχήματος 3b αντιπροσωπεύουν το βάθος h και την υδροστατική πίεση p. Οπότε το εμβαδόν ενός τέτοιου διαγράμματος έχει μονάδες δύναμης ανά μήκος αφού η πίεση μετριέται σε N/m2 και το βάθος σε m. Δηλαδή
Επομένως, το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ αντιπροσωπεύει την δύναμη ανά μονάδα πλάτους f που ασκείται στο φράγμα. Η πλευρά του τριγώνου ΟΒ ισούται με το ύψος της στάθμης του νερού και ως εκ τούτου (OB)=H=10 m. Η πλευρά ΑΒ ισούται με την πίεση στο βάθος των 10 m. Έτσι
Έτσι η δύναμη ανά μονάδα πλάτους που ασκείται στο φράγμα είναι ίση με
Για να βρούμε την συνολική δύναμη F που ασκείται στο φράγμα αρκεί να πολλαπλασιάσουμε την δύναμη ανά μονάδα πλάτους f με το πλάτος b. Οπότε έχουμε
Συνεπώς το φράγμα δέχεται δύναμη μέτρου 24.5 MN.

Ερώτημα 2

Η αγροτική περιοχή χρειάζεται παροχή νερού ίση με την παροχή που απαιτείται για να αρδευτούν όλα τα στρέμματα της. Έτσι η παροχή Π2 που διαρρέει τον αγωγό (2) ισούται με το γινόμενο της παροχής που απαιτείται για την άρδευση ενός στρέμματος επί τον αριθμό των στρεμμάτων της αγροτικής περιοχής. Συνεπώς

Έπειτα, ο αγωγός (3) που αρδεύει το χωριό Α διαρρέεται από παροχή Π3 ίση με το γινόμενο των αναγκών σε νερό του κάθε κατοίκου επί τον αριθμό των κατοίκων. Έτσι
Ομοίως, για τον αγωγό (4) ισχύει
Έτσι από την εξίσωση της συνέχειας γνωρίζουμε πως για την παροχή Π1 του αγωγού (1) ισχύει

Ερώτημα 3

Γνωρίζουμε πως η παροχή Π ενός αγωγού είναι ίση με το γινόμενο της ταχύτητας του νερού u μέσα στον αγωγό επί την διατομή Α του αγωγού. Για αγωγό κυκλικής διατομής ισχύει
Έτσι η παροχή Π δίνεται από τον τύπο
Συνεπώς, αν γνωρίζουμε την παροχή Π και την ταχύτητα του νερού u μέσα στον αγωγό μπορούμε να υπολογίσουμε την διάμετρο του αγωγού από την σχέση
Στην περίπτωση μας η ταχύτητα u είναι ίση με 1.5 m/s και στους τέσσερις αγωγούς οπότε για τον αγωγό (1) έχουμε
Ομοίως, για τους άλλους αγωγούς προκύπτει

Ερώτημα 4

Γνωρίζουμε από τα δεδομένα πως ο αγωγός (1) συνδέεται με το φράγμα 1 m πάνω από την βάση του. Έτσι αν κάποια χρονική στιγμή η στάθμη του φράγματος είναι h προκύπτει το σχήμα 4.

σχήμα 4, η στάθμη του νερού βρίσκεται σε ύψος h. Επίσης, ο αγωγός βρίσκεται 1 m πάνω από την βάση του φράγματος.

Θεωρούμε τα σημεία 1 και 2 έτσι ώστε το σημείο 1 να βρίσκεται στην ελεύθερη επιφάνεια του νερού και το σημείο 2 να βρίσκεται πάνω στην σύνδεση αγωγού και φράγματος. Επομένως, εφαρμόζουμε την εξίσωση Bernoulli μεταξύ των σημείων 1 και 2 και έχουμε
Για να απλοποιήσουμε την παραπάνω εξίσωση αρκεί να σκεφτούμε πως η πίεση στο σημείο 1 είναι ατμοσφαιρική, δηλαδή ίση με μηδέν. Επίσης, η ταχύτητα του ρευστού στο σημείο 1 είναι μηδενική ενώ η ταχύτητα στο σημείο 2 είναι ίση με 1.5 m/s. Συνεπώς επιλύοντας την εξίσωση Bernoulli ως προς p2 προκύπτει
Η παραπάνω συνάρτηση εκφράζει την σχέση του ύψους στάθμης του νερού h και της πίεσης στο σημείο 2, δηλαδή στο σημείο σύνδεσης του αγωγού και του φράγματος.

Ερώτημα 5

Για να βρούμε για ποιο h η πίεση στο σημείο 2 είναι ίση με μηδέν λύνουμε την εξίσωση
Έτσι η πίεση για h>1.11 m είναι θετική (δηλαδή μεγαλύτερη της ατμοσφαιρικής) ενώ για h<1.11 m είναι αρνητική (δηλαδή μικρότερη της ατμοσφαιρικής).


Η παραπάνω εφαρμογή περιέχει πολλά στοιχεία που υπολογίζονται κατά τον σχεδιασμό ενός αρδευτικού ή υδρευτικού δικτύου. Επιπλέον στοιχεία που υπολογίζονται είναι οι απώλειες ενέργειας του νερού μέσα στους αγωγούς και η πίεση στο τέλος των αγωγών (2), (3) και (4). Και αν σας ενδιαφέρει ένα μικρό μάθημα ιστορίας σχετικά με τα δίκτυα νερού δείτε εδώ.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου