Κυριακή, 16 Αυγούστου 2015

Σύστημα αγωγών και αντλίας

Από την καθημερινή μας εμπειρία γνωρίζουμε πως ένα ρευστό ρέει από ένα υψηλό σημείο προς ένα χαμηλότερο. Έτσι σε περιπτώσεις που για την ύδρευση ενός οικισμού απαιτείται να μεταφερθεί νερό από ένα χαμηλό σε ένα υψηλότερο σημείο χρησιμοποιούνται αντλίες. Συγκεκριμένα, οι αντλίες είναι διατάξεις που αυξάνουν την πίεση σε ένα σημείο της ροής (μπορείτε να δείτε περισσότερα για τις αντλίες στην ανάρτηση Φυγόκεντρες αντλίες). Παρακάτω θα εξετάσουμε μία εφαρμογή όπου φαίνεται η χρήση μίας αντλίας.

Στο σχήμα 1 φαίνεται το σύστημα δύο αγωγών και μίας αντλίας. Το σύστημα αυτό χρησιμοποιείται για να υδρεύσει έναν οικισμό που βρίσκεται σε υψόμετρο z2=100 m. Καθώς η πηγή νερού βρίσκεται χαμηλότερα του οικισμού, οι μηχανικοί επιλέγουν να τοποθετήσουν μια αντλία σε υψόμετρο z1=50 m. Επιπλέον, επιλέγουν ως διάμετρο του αγωγού (1) την τιμή δ1=300 mm και ως διάμετρο του αγωγού (2) την τιμή δ2=500 mm. Αν ο πληθυσμός του οικισμού είναι 72000 κάτοικοι και κάθε κάτοικος έχει ανάγκη νερού ίση με 10 lt/h βρείτε:
  1. Την παροχή νερού που πρέπει να διαρρέει το σύστημα
  2. Την ταχύτητα του νερού μέσα στους αγωγούς (1) και (2)
  3. Την πίεση που πρέπει να δημιουργείται από την αντλία ώστε να υδρεύεται ο οικισμός
  4. Την ισχύ της αντλίας
  5. Το ρεύμα που διαρρέει την αντλία
Θεωρήστε πως η πίεση στο δίκτυο του οικισμού πρέπει να είναι ίση με 3 atm και πως η αντλία τροφοδοτείται με πηγή συνεχούς ρεύματος η οποία έχει ΗΕΔ ίση με ε=3000 V και τιμή εσωτερικής αντίστασης r=10 Ω. Τέλος, θεωρήστε πως η ισχύς της αντλίας είναι ίση με το γινόμενο της πίεσης που δημιουργεί και της παροχής του συστήματος. Το νερό (ρ=1000 kg/m3) δεν χάνει ενέργεια κατά την διάρκεια της ροής του και οι αγωγοί είναι κυκλικής διατομής.

σχήμα 1, φαίνεται το δίκτυο του προβλήματος μας. Η αντλία στέλνει το νερό από την πηγή προς τον οικισμό.
Ερώτημα 1

Η παροχή Π που διαρρέει το σύστημα είναι το γινόμενο των αναγκών του κάθε κατοίκου επί τον πληθυσμό. Επομένως έχουμε

Ερώτημα 2

Από την εξίσωση συνέχειας γνωρίζουμε πως για τις παροχές Π1 και Π2 που διαρρέουν τους αγωγούς (1) και (2) αντίστοιχα ισχύει
Η παροχή που διαρρέει έναν αγωγό δίνεται από την σχέση
Για κυκλικούς αγωγούς προκύπτει η εξής σχέση μεταξύ της διατομής Α και της διαμέτρου δ
Έτσι η ταχύτητα του ρευστού μέσα στον αγωγό δίνεται από την σχέση
Εφαρμόζοντας την παραπάνω σχέση στον αγωγό (1) έχουμε
Ομοίως για τον αγωγό (2) ισχύει
Συνεπώς, η ταχύτητα του νερού μέσα στον αγωγό (1) είναι 2.8 m/s ενώ η ταχύτητα του μέσα στον αγωγό (2) είναι 1.0 m/s.

Ερώτημα 3

Για να υπολογίσουμε την πίεση που δημιουργεί η αντλία θεωρούμε τα σημεία 1 και 2 (σχήμα 1). Το σημείο 1 βρίσκεται πάνω στην αντλία ενώ το σημείο 2 τοποθετείται στην αρχή του υδρευτικού δικτύου του οικισμού. Μπορούμε να εφαρμόσουμε την εξίσωση Bernoulli μεταξύ των σημείων 1 και 2 και ως εκ τούτου έχουμε
όπου p1 η πίεση της αντλίας και p2 η πίεση στο δίκτυο του οικισμού. Επιλύοντας ως προς p1 προκύπτει
Οπότε η αντλία πρέπει να δημιουργεί πίεση στο σημείο 1 ίση με 7.9 atm ώστε να υδρευτεί ο οικισμός.

Ερώτημα 4

Από τα δεδομένα γνωρίζουμε πως η ισχύ P της αντλίας δίνεται από την σχέση
Έτσι η τιμή της ισχύος είναι
Ερώτημα 5

Για να βρούμε το ρεύμα Ι που διαρρέει την αντλία αρκεί να σκεφτούμε πως έχουμε το κύκλωμα του σχήματος 2.

σχήμα 2, η πηγή παράγει ενέργεια η οποία καταναλώνεται στην εσωτερική
αντίσταση και στην αντλία.

Η ενέργεια που παράγει η πηγή καταναλώνεται στην εσωτερική της αντίσταση και στην αντλία. Επομένως, από την αρχή διατήρησης της ενέργειας έχουμε
Λύνοντας αυτή την εξίσωση δευτέρου βαθμού προκύπτει πως το ρεύμα Ι μπορεί να έχει είτε την τιμή 68.1 Α είτε την τιμή 231.9 Α.

Πρέπει να σημειωθεί πως πολλά από τα παραπάνω είναι απλούστευση της πραγματικότητας. Παραδείγματος χάριν, και στα υδραυλικά και στα ηλεκτρικά κυκλώματα υπάρχουν απώλειες ενέργειας. Επίσης, μία αντλία δεν έχει απόδοση 100% και ως εκ τούτου στον τύπο υπολογισμού της ισχύος της εμπλέκεται ο συντελεστής απόδοσης. Και τέλος, το νερό κατά την διάρκεια της κίνησης του χάνει ενέργεια οπότε η εξίσωση Bernoulli "αλλάζει μορφή". Οπότε η εφαρμογή αυτή έχει εκπαιδευτικό χαρακτήρα και προσπαθεί να εισάγει τους ενδιαφερόμενους σε βασικές έννοιες των υδραυλικών και ηλεκτρικών κυκλωμάτων.

Η απόδειξη του τύπου που δίνει την ισχύ μίας αντλίας παρουσιάζεται στην ανάρτηση Η ισχύς μίας αντλίας.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου