Δευτέρα, 17 Αυγούστου 2015

Η ισχύς μίας αντλίας

Οι αντλίες, ενεργειακά μιλώντας, είναι διατάξεις που προσθέτουν ενέργεια σε ένα υδραυλικό σύστημα. Επομένως πολλές φορές πρέπει να υπολογίσουμε την ισχύ μίας αντλίας, δηλαδή τον ρυθμό με τον οποίο προσθέτει ενέργεια σε ένα υδραυλικό σύστημα. Για να το πετύχουμε αυτό αρκεί να αναλύσουμε την εξίσωση Bernoulli.

Αρχικά, η εξίσωση Bernoulli εκφράζει την αρχή διατήρησης της ενέργειας και η μορφή της είναι η ακόλουθη
Βλέπουμε λοιπόν πως έχουμε ένα άθροισμα τριών όρων το οποίο είναι σταθερό κατά μήκος μίας γραμμής ροής (αν το πεδίο ροής είναι αστρόβιλο το άθροισμα αυτών των όρων είναι σταθερό για κάθε σημείο της ροής). Συγκεκριμένα, ο πρώτος όρος εκφράζει το φορτίο πίεσης σε ένα σημείο του ρευστού, ο δεύτερος όρος εκφράζει το φορτίο ταχύτητας και ο τελευταίος όρος εκφράζει το φορτίο θέσης.

Γνωρίζουμε από την φυσική πως ένα στερεό σώμα έχει κινητική και δυναμική ενέργεια. Έτσι το φορτίο ταχύτητας είναι το ανάλογο της κινητικής ενέργειας στα ρευστά ενώ το φορτίο θέσης είναι το ανάλογο της δυναμικής ενέργειας. Όμως ανάλογο του φορτίου πίεσης σε ένα στερεό σώμα δεν υπάρχει. Επομένως δεν μπορούμε σε μία μάζα ρευστού να συμπεριφερθούμε σαν μία μάζα στερεού. 

Αυτό μπορούμε να το δούμε αν υποθέσουμε πως έχουμε μία μάζα m ρευστού η οποία κινείται προς την κατεύθυνση της ροής μέσα σε έναν σωλήνα. Έστω λοιπόν πως μπορούμε να της φερθούμε σαν στερεό. Οπότε αν ξεκινάει από την θέση 1 και καταλήγει στην θέση 2 έχουμε
Παρατηρούμε πως από την εφαρμογή της αρχής διατήρησης της ενέργειας δεν προκύπτει η εξίσωση Bernoulli. Τι πήγε στραβά; Πολύ απλά πρέπει να σκεφτούμε πως ενέργεια εισάγεται στο σύστημα εξαιτίας των υδροστατικών δυνάμεων που ασκούνται στα άκρα της ρευστής μάζας m. Με άλλα λόγια καθώς η μάζα m κινείται μέσα στον αγωγό οι υδροστατικές δυνάμεις που ασκούνται στα άκρα της παράγουν έργο W το οποίο προστίθεται στο σύστημα. Έτσι η αρχή διατήρησης της ενέργειας γράφεται
Η σχέση μετά από πράξεις καταλήγει στην εξίσωση Bernoulli (μπορώ να στείλω σε όποιον θέλει την απόδειξη).

Έτσι αν έχουμε το σύστημα αγωγών και αντλίας της ανάρτησης Σύστημα αγωγών και αντλίας μπορούμε, για να υπολογίσουμε την ισχύ της αντλίας, να εφαρμόσουμε την εξίσωση Bernoulli μεταξύ των σημείων 1 και 2. Επομένως έχουμε
Να σημειωθεί πως d είναι η υψομετρική διαφορά των σημείων 1 και 2. Εύκολα βλέπουμε πως το γινόμενο Q (παροχή) επί p1 έχει μονάδες ισχύος. Συνεπώς το γινόμενο Qp1 είναι η ενέργεια ανά μονάδα χρόνου που πρέπει να προστεθεί στο σύστημα για να κινηθεί το νερό από το σημείο 1 προς το 2 και ταυτόχρονα να έχουμε πίεση p2 στο τέλος του αγωγού. Οπότε η ισχύς της αντλίας ισούται με

Αν επιπλέον θεωρήσουμε πως η αντλία κατά την λειτουργία της χάνει ενέργεια μπορούμε να γενικεύσουμε την παραπάνω σχέση. Συγκεκριμένα, ισχύει η γενικότερη σχέση
όπου n είναι ο συντελεστής απόδοσης της αντλίας.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου