Παρασκευή, 28 Αυγούστου 2015

Βελτιστοποίηση συστήματος αγωγού και αντλίας

Μεγάλο μέρος της ενέργειας που καταναλώνεται παγκοσμίως οφείλεται στην χρήση κινητήρων. Επομένως, οι μηχανικοί πρέπει με κάποιο τρόπο να ελαχιστοποιήσουν την δαπάνη ενέργειας και συνεπώς το ανάλογο κόστος. Ένας συγκεκριμένος τύπος κινητήρων είναι, ως γνωστόν, οι αντλίες οι οποίες επηρεάζουν άμεσα την διάμετρο των αγωγών του δικτύου. Στην παρακάτω ανάλυση θα δούμε ποια είναι η λογική πίσω από την βελτιστοποίηση ενός συστήματος αγωγού και αντλίας.

Αρχικά, ας υποθέσουμε πως έχουμε έναν αγωγό του οποίου η αρχή (σημείο 1) και το πέρας (σημείο 2) απέχουν κατακόρυφη απόσταση d. Καθώς το νερό δεν μπορεί να κινηθεί μόνο του ανηφορικά, τοποθετούμε μία αντλία στην αρχή του αγωγού (σχήμα 1) ώστε το νερό να έχει πίεση p2 στο πέρας του αγωγού.

σχήμα 1, ένα σύστημα αγωγού και αντλίας. Η υψομετρική διαφορά των σημείων 1 και 2 είναι ίση με d.
Γνωρίζουμε πως το νερό χάνει ενέργεια λόγω των τριβών του με τον αγωγό. Οι γραμμικές απώλειες ενέργειας δίνονται από την εξίσωση Darcy-Weisbach, δηλαδή από την εξίσωση
όπου f ο συντελεστής τριβής, L το μήκος του αγωγού, Q η παροχή και D η διάμετρος του αγωγού. Από την παραπάνω σχέση συμπεραίνουμε πως όταν το D αυξάνεται, οι απώλειες ενέργειας του νερού μειώνονται.

Η αντλία έχει ως σκοπό να δώσει στο νερό ενέργεια Η ώστε αυτό να υπερνικήσει τις γραμμικές απώλειες ενέργειας και την υψομετρική διαφορά. Επομένως, όσο μεγαλύτερη είναι η διάμετρος του αγωγού τόσο μικρότερες απώλειες ενέργειας έχουμε με αποτέλεσμα να χρειαζόμαστε μικρότερη αντλία (μικρότερη τιμή Η). Από την άλλη όμως αν μεγαλώνουμε την διάμετρο του αγωγού πρέπει να δαπανήσουμε μεγαλύτερο κόστος αφού το κόστος των αγωγών εξαρτάται άμεσα από την διάμετρο τους.

Οπότε αν χρησιμοποιήσουμε μεγάλο αγωγό πληρώνουμε πιο πολλά για τον ίδιο τον αγωγό αλλά κερδίζουμε στο κόστος της αντλίας. Το ερώτημα, λοιπόν, είναι το εξής: Ποιος συνδυασμός αντλίας και διαμέτρου αγωγού θα μας δώσει το μικρότερο κόστος; Με άλλα λόγια ψάχνουμε να βρούμε τις τιμές Η και D που βελτιστοποιούν το σύστημα μας.

Ας δούμε τώρα με μία πιο μαθηματική σκοπιά το πρόβλημα μας. Μία αντλία καταναλώνει ενέργεια, δηλαδή ισχύ. Η ισχύς P μίας αντλίας δίνεται από τον τύπο
όπου ρ η πυκνότητα του νερού και n ο συντελεστής απόδοσης της αντλίας. Το ετήσιο κόστος λειτουργίας της αντλίας δίνεται από τον τύπο
όπου A είναι ο αριθμός των ωρών λειτουργίας της αντλίας μέσα σε έναν χρόνο και b η τιμή της kWh.

Έπειτα, η δαπάνη αγοράς ενός μέτρου αγωγού με διάμετρο D δίνεται από τον τύπο
Η παραπάνω σχέση είναι καθαρά εμπειρική και οι συντελεστές μ και ν προκύπτουν από το κόστος των διάφορων διαμέτρων που υπάρχουν στο εμπόριο.

Αφού το ένα μέτρο αγωγού κοστίζει δ euro, ένας αγωγός μήκους L κοστίζει Lδ. Το γινόμενο Lδ είναι η συνολική δαπάνη για τον αγωγό. Αυτό που μας ενδιαφέρει είναι η αναγωγή της συνολικής δαπάνης σε ετήσια. Έτσι η ετήσια δαπάνη για τον αγωγό προκύπτει πολλαπλασιάζοντας την ποσότητα Lδ με τον συντελεστή ετήσιας δαπάνης αποσβέσεως ε. Δηλαδή το ετήσιο κόστος του αγωγού δίνεται από τον τύπο

Να σημειωθεί πως ο συντελεστής ε δίνεται από τον τύπο
όπου B είναι το κεφάλαιο που έχουμε, Τ το επιτόκιο και Ν ο χρόνος αποσβέσεως του υλικού.

Ο σκοπός μας είναι να ελαχιστοποιήσουμε το συνολικό κόστος, δηλαδή να ελαχιστοποιήσουμε την ποσότητα
Από την παραπάνω ανάλυση γίνεται φανερό πως
Η συνάρτηση C, όπως βλέπουμε, έχει ως μεταβλητές τα H και D. Όμως τα H και D δεν είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους καθώς συσχετίζονται από την εξίσωση Bernoulli. Δηλαδή αν πάρουμε την εξίσωση Bernoulli για τα σημεία 1 και 2 έχουμε
Με άλλα λόγια η συνάρτηση C είναι η αντικειμενική μας συνάρτηση η οποία πρέπει να ελαχιστοποιηθεί με τον περιορισμό της σχέσης (2). Για να λύσουμε ένα τέτοιο μαθηματικό πρόβλημα συνήθως καταφεύγουμε στην μέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange. Όμως στην συγκεκριμένη περίπτωση θα επιλύσουμε αριθμητικά το παραπάνω πρόβλημα με την βοήθεια του excel. Η επίλυση αυτή φαίνεται στο ακόλουθο παράδειγμα.

Παράδειγμα

Έστω πως έχουμε έναν αγωγό μήκους 500 m. H αρχή του βρίσκεται σε υψόμετρο 100 m και το πέρας του βρίσκεται σε υψόμετρο 130 m. Αν θέλουμε η διαφορική πίεση στο πέρας του να είναι 2 atm και η παροχή του συστήματος να είναι 0.2 m3/s υπολογίστε την βέλτιστη αντλία και την βέλτιστη διάμετρο του αγωγού. Θεωρήστε πως η αντλία λειτουργεί 6000 ώρες τον χρόνο, το κόστος της kWh είναι ίσο με 0.06 euro, οι συντελεστές μ και ν έχουν τιμές 4110 και 1.56 αντίστοιχα και το ε ισούται με 12.5%.

Η επίλυση γίνεται με την βοήθεια του παρακάτω πίνακα.


Η λογική που πρέπει να ακολουθήσουμε είναι η εξής: δοκιμάζουμε διάφορες τιμές για το D και υπολογίσουμε με την βοήθεια της σχέσης (2) το αντίστοιχο Η. Αφού γνωρίζουμε πλέον τα Η και D υπολογίζουμε με την σχέση (1) το ετήσιο κόστος του συστήματος αγωγού και αντλίας. Έτσι για κάθε ζεύγος Η και D παίρνουμε ένα κόστος C. Το χαμηλότερο κόστος είναι η βέλτιστη λύση και ως εκ τούτου επιλέγουμε τα D και H που αντιστοιχούν σε αυτό το κόστος. Στον πίνακα μας το χαμηλότερο κόστος είναι 68265 euro τον χρόνο. Επομένως τα βέλτιστα Η και D έχουν τιμές 52 m και 440 mm αντίστοιχα.

Επίσης, στον πίνακα έχουμε υπολογίσει τις ταχύτητες του νερού μέσα στον αγωγό και τον αριθμό Reynolds. Αυτές οι δύο στήλες είναι προαπαιτούμενα για να υπολογιστεί ο συντελεστής f που εμπεριέχεται στην σχέση (2).

Τέλος, μπορούμε στο παρακάτω γράφημα να δούμε την καμπύλη κόστους.


Παρατηρούμε πως το ελάχιστο σημείο της καμπύλης δίνεται για διάμετρο D=440 mm.

Μπορείτε να κατεβάσετε το αρχείο excel όπου έγινε ο υπολογισμός από τον σύνδεσμο επίλυση. Στο αρχείο αυτό μπορείτε να αλλάξετε τα δεδομένα για να λύσετε διαφορετικά προβλήματα βελτιστοποίησης.

Πηγή: Γεωργική υδραυλική τόμος 2, Τζιμόπουλος Δ. Χρήστος

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου