Τρίτη, 22 Σεπτεμβρίου 2015

Το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος GPS

Το Global Positioning System (GPS) είναι ένα δορυφορικό σύστημα το οποίο μας επιτρέπει να προσδιορίζουμε την θέση μας πάνω στην γήινη επιφάνεια. Υπάρχουν πολλοί μέθοδοι για να προσδιορίσει κάποιος την θέση του με GPS. Στην παρούσα ανάρτηση θα μας απασχολήσει ο απόλυτος προσδιορισμός θέσης σε πραγματικό χρόνο.

Αρχικά στο σύστημα GPS χρησιμοποιούνται γεωκεντρικές συντεταγμένες. Δηλαδή το σύστημα αναφοράς που χρησιμοποιούμε είναι καρτεσιανό και έχει ως αρχή των αξόνων το κέντρο της γης. Έπειτα, για να προσδιορίσουμε την θέση μας με το σύστημα GPS χρειαζόμαστε έναν δέκτη. Ο δέκτης μετράει τις ψευδοαποστάσεις από τουλάχιστον 4 δορυφόρους ώστε να μπορέσουν να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες XA, YA, ZA του δέκτη και το σφάλμα ρολογιού δΑ του δέκτη. Το σφάλμα ρολογιού προκαλείται από το γεγονός πως το ρολόι του δέκτη είναι χαμηλότερης ακρίβειας από τα ρολόγια των δορυφόρων (ατομικά ρολόγια).

Η ψευδοαπόσταση του δορυφόρου i από τον δέκτη συμβολίζεται με PAi και δίνεται από τον τύπο
όπου Xi, Yi και Zi οι συντεταγμένες του δορυφόρου i και eAi το σφάλμα μέτρησης της ψευδοαπόστασης PAi. Είναι φανερό πως η ψευδοαπόσταση ισούται με την γεωμετρική απόσταση συν το σφάλμα ρολογιού του δέκτη συν το σφάλμα μέτρησης.

Στην εξίσωση της ψευδοαπόστασης υπάρχουν οι τέσσερις άγνωστοι μας (XA, YA, ZA, δΑ) συν το σφάλμα της μέτρησης eAi. Οπότε βλέπουμε πως όσους δορυφόρους και να "βλέπει" ο δέκτης οι άγνωστοι θα είναι περισσότεροι των μετρημένων ψευδοαποστάσεων. Έτσι το μαθηματικό μας πρόβλημα λύνεται με τον παρακάτω τρόπο:

Η εξίσωση (1) είναι μη γραμμική. Οπότε χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα Taylor την γραμμικοποιούμε γύρω από τις προσεγγιστικές τιμές XΑ0, YΑ0, ZΑ0 και δΑ0. Δηλαδή για να λύσουμε το πρόβλημα μας πρέπει να χρησιμοποιήσουμε προσεγγιστικές τιμές για την θέση του δέκτη (XΑ0, YΑ0, ZΑ0) και για το σφάλμα του ρολογιού του (δΑ0). Η γραμμικοποιημένη εξίσωση μας γίνεται
όπου
Έτσι αν έχουμε μετρήσεις από S δορυφόρους, προκύπτει το μαθηματικό σύστημα
Το σύστημα αυτό σε μορφή πινάκων γράφεται
ή πιο συνοπτικά
όπου b ο πίνακας των ανηγμένων παρατηρήσεων, A ο πίνακας σχεδιασμού μερικών παραγώγων, x ο πίνακας των άγνωστων παραμέτρων και v ο πίνακας των σφαλμάτων.

Οι άγνωστοι μας είναι 4+S (οι συντεταγμένες στου δέκτη, το σφάλμα του ρολογιού του και τα σφάλματα μετρήσεων) ενώ οι εξισώσεις μας είναι S. Οπότε το παραπάνω σύστημα έχει άπειρο αριθμό λύσεων. Επομένως, ο σκοπός μας είναι να βρούμε την βέλτιστη λύση βασιζόμενοι σε κάποιο κριτήριο. Το κριτήριο μας θα είναι η ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των τετραγώνων των σφαλμάτων δηλαδή
Έτσι προκύπτει πως η εκτίμηση για την θέση μας, δηλαδή η εκτίμηση του πίνακα x, δίνεται από την σχέση
Για το πως προκύπτει αυτή η εκτίμηση δείτε την ανάρτηση Η συνόρθωση με την μέθοδο των εξισώσεων παρατηρήσεων.

Συγκεκριμένα ο πίνακας x (με καπελάκι) μας δίνει τις εκτιμήσεις των διαφορών των τιμών XA, YA, ZA και δΑ από τις αντίστοιχες προσεγγιστικές. Οπότε ισχύει
Έτσι προκύπτουν οι συντεταγμένες του δέκτη πάνω στην γη.

Για να μηδενιστούν τα σφάλματα γραμμικοποίησης ο παραπάνω αλγόριθμος απαιτεί 2 με 4 επαναλήψεις. Δηλαδή στην αρχή ξεκινάμε με προσεγγιστικές τιμές XΑ0, YΑ0, ZΑ0 και δΑ0 που μπορεί να μην είναι κοντά στην πραγματική λύση. Με την πρώτη εκτέλεση της παραπάνω διαδικασίας προκύπτουν ορισμένες εκτιμήσεις για την θέση του δέκτη και για το σφάλμα του ρολογιού. Αυτές οι εκτιμήσεις είναι οι προσεγγιστικές τιμές για την δεύτερη επανάληψη κτλ. Η διαδικασία σταματάει όταν υπάρξει σύγκλιση.

Συμπερασματικά θα μπορούσαμε να πούμε πως για την επίλυση του προβλήματος του GPS απαιτούνται τουλάχιστον 4 δορυφόροι και ένα κριτήριο βελτιστοποίησης των σφαλμάτων.

Πηγή: GPS και γεωδαιτικές εφαρμογές, Αριστείδης Ι. Φωτίου - Χρήστος Κ. Πικριδάς

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου