Κυριακή, 1 Νοεμβρίου 2015

Τα συστήματα αναφοράς στην γεωδαισία (μέρος 1)

Γεωδαισία αποκαλούμε γενικά την εφαρμοσμένη επιστήμη, η οποία εξετάζει την μορφή της Γης στο χώρο και στο χρόνο με τη βοήθεια παρατηρήσεων. Ο ορισμός αυτός, φυσικά, είναι υπεραπλουστευτικός, ωστόσο, είναι αρκετός για να κατανοήσει κανείς περί τίνος πρόκειται, εάν αναλογιστούμε την πορεία που έχει διέλθει ως σήμερα για να αποκρυσταλλωθεί ως ξεχωριστή επιστήμη. Ο Ηρόδοτος την κατονομάζει ως γεωμετρία, ενώ ο Αριστοτέλης φαίνεται να δίνει για πρώτη φορά την ονομασία της από το "γή καί δαίω" στο "Μετά τα Φυσικά" του. Σχεδόν δύο χιλιάδες χρόνια μετά, ο γεωδαίτης F.R. Helmert την ορίζει ως "την επιστήμη των μετρήσεων και απεικόνισης της γήινης επιφάνειας". Σήμερα, η Γεωδαισία ορίζεται ως:


η επιστήμη που ασχολείται με τον προσδιορισμό του σχήματος και του μεγέθους της Γης, τον προσδιορισμό συντεταγμένων στη γήινη επιφάνεια και τον ευρύτερο διαστημικό χώρο, την απεικόνιση της γήινης επιφάνειας σε χάρτες, τον προσδιορισμό του γήινου πεδίου βαρύτητας και τη διαχρονική τους παρακολούθηση (Φωτίου Α. , 2007).


Βλέπουμε, κατ’ επέκταση, πως πρόκειται για έναν πολυδιάστατο επιστημονικό κλάδο, ο οποίος έχει άρρηκτη σχέση με τις καθαρά θετικές επιστήμες όπως τα Μαθηματικά, η Φυσική, η Στατιστική, η Αστρονομία κλπ.

Η έννοια του συστήματος αναφοράς

Πιο πρακτικά, η Γεωδαισία, καθώς και η συγγενής με αυτήν Τοπογραφία, εμπεριέχει όλες εκείνες τις αναλυτικές μεθόδους με τις οποίες μπορεί μια περιορισμένη (ή και ολόκληρη) γήινη επιφάνεια να αποτυπωθεί και να αποδοθεί ως χωρική και χρονική πληροφορία. Η συγκεκριμένη διευκρίνιση έχει ουσιώδη χαρακτήρα, καθώς είναι αυτονόητο πως η απόδοση αυτή πραγματοποιείται μέσω καθορισμένων μετρήσεων. Τις μετρήσεις φροντίζουμε να τις εκφράσουμε με τη βοήθεια συντεταγμένων που αναφέρονται σε συγκεκριμένα σημεία, όπως τονίζεται και στον παραπάνω ορισμό. Τα σημεία αυτά απαρτίζουν τα λεγόμενα τοπογραφικά και γεωδαιτικά δίκτυα. Η υιοθέτηση συντεταγμένων είναι μια παραδοχή, κατά κύριο λόγο εξαιτίας του ότι αποτελούν, από μαθηματική και υπολογιστική άποψη, εύχρηστες ποσότητες. Ωστόσο οδηγούν αναπόφευκτα στην ανάγκη ορισμού της αρχής στην οποία αναφέρονται. Ειδάλλως, γιατί ένα συγκεκριμένο σημείο συντεταγμένων (x0,y0) να έχει προκαθορισμένες τιμές και όχι διαφορετικές;

Η λύση επιτυγχάνεται μέσω της υιοθέτησης των λεγόμενων συστημάτων αναφοράς και της υλοποίησής τους στο χώρο από τα πλαίσια αναφοράς. Θα προσπαθήσουμε, λοιπόν, στην παρούσα ενότητα να σκιαγραφήσουμε όσο το δυνατόν πιο απλά και με λιγότερη μαθηματική εντριβή την έννοια των συστημάτων αναφοράς.

εικόνα 1, μία πρώτη σχηματική αναπαράσταση των συστημάτων αναφοράς και
του πλαισίου αναφοράς (κίτρινα σημεία) τα οποία ορίζονται πάνω σε μία τρισδιάστατη
επιφάνεια.
Προκειμένου να καταστεί δυνατή η περιγραφή του φυσικού χώρου είναι επιτακτική η χρήση ενός θεωρητικού συστήματος, το οποίο εμπεριέχει τα κατάλληλα εργαλεία για το σκοπό αυτό και συγχρόνως είναι η απλουστευμένη εκδοχή του πρώτου, καθώς ο φυσικός χώρος είναι ένα αρκετά πολύπλοκο σύνολο στοιχείων για μπορέσει να αποδοθεί στην εντέλεια. Το σύστημα αυτό πρέπει να είναι μονοσήμαντα ορισμένο, ολοκληρωμένο και εσωτερικά συνεπές, ώστε τα επιμέρους στοιχεία που το απαρτίζουν να μην αντιβαίνουν μεταξύ τους. Ένα τέτοιο σύστημα είναι ο μαθηματικός ευκλείδειος χώρος, ο οποίος αν και όχι απόλυτα σωστός, είναι ικανοποιητικός για συγκεκριμένο βαθμό ακρίβειας. Όλο το οικοδόμημα της σύγχρονης επιστήμης βασίστηκε στον ευκλείδειο χώρο, μέχρι η επιστημονική κοινότητα να φτάσει στην ανακάλυψη των λεγόμενων μη ευκλείδειων χώρων.

Με τη βοήθεια του ευκλείδειου χώρου, η περιγραφή του φυσικού χώρου ανάγεται στο χαρακτηρισμό της σύστασης και των φαινομένων μέσα σε αυτόν σε μαθηματικές ποσότητες. Καθολική παράμετρος περιγραφής αποτελεί, προφανώς, η θέση. Η θέση ενός φαινομένου αποδίδεται με το σημείο στον χώρο που ορίζουμε, το οποίο με τη σειρά του πρέπει να αποδοθεί μονοσήμαντα με τις συντεταγμένες αυτού. Οι συντεταγμένες εξ ορισμού πρέπει να αναφέρονται σε μία αρχή, ώστε να είναι δυνατή η σύνδεση και η συσχέτιση δύο σημείων του χώρου ως προς μια κοινή παράμετρο αναφοράς. Ο αριθμός των συντεταγμένων που ορίζει ένα σημείο είναι ίσος με τον αριθμό των διαστάσεων του χώρου εντός του οποίου ορίζονται. Επομένως, ορίζουμε ένα σύστημα συντεταγμένων (Δερμάνης Α. , 2005) ως:

μια απεικόνιση (συνάρτηση), η οποία σε κάθε σημείο P, ενός συγκεκριμένου χώρου n διαστάσεων, αντιστοιχεί n πραγματικούς αριθμούς q1(P), q2(P), …, qn(P).

Το σύστημα συντεταγμένων έχει αμφιμονοσήμαντο χαρακτήρα, δηλαδή σε διαφορετικά σημεία αντιστοιχούν διαφορετικές συντεταγμένες, αλλά και αντίστροφα, διαφορετικές συντεταγμένες αντιστοιχούν σε διαφορετικά σημεία. Επομένως, τα στοιχεία του χώρου ορίζονται μονοσήμαντα, απαίτηση που αναφέραμε προηγουμένως.

Μπορούμε να δούμε εύκολα πως από αυτήν τη, μαθηματικής φύσεως, θεωρητική κατασκευή απορρέει ένα σύνολο παράγωγων συστημάτων, όλα ικανά να περιγράψουν το ίδιο ικανοποιητικά το χώρο n διαστάσεων. Φυσικά, ο χαρακτηρισμός "ικανοποιητικά" είναι σχετικός, καθώς πολλά από τα παράγωγα συστήματα μπορεί να μην ορίζουν απόλυτα αμφιμονοσήμαντα τα σημεία, με την αυστηρή μαθηματική έννοια. Εντούτοις, στις περισσότερες πρακτικές εφαρμογές, η χρήση αυτών, με τις ενδεχόμενες "προβληματικές" ιδιότητες, οδηγεί σε απλούστερη περιγραφή της θέσης των σημείων καθιστώντας τα εύχρηστα.

Με βάση τον ορισμό που διατυπώσαμε, κάθε σημείο του μαθηματικού ευκλείδειου χώρου περιγράφεται από ένα μονοσήμαντα ορισμένο σύνολο n μαθηματικών ποσοτήτων, των συντεταγμένων. Εάν τώρα επιλέξουμε αυθαίρετα μια οποιαδήποτε εξ αυτών και της δώσουμε όλες τις πιθανές πραγματικές τιμές που μπορεί να λάβει, διατηρώντας όλες τις υπόλοιπες σταθερές, θα σχηματιστεί μια καμπύλη. Εξαιτίας αυτού, ονομάζουμε τις συντεταγμένες και καμπυλόγραμμες συντεταγμένες, οι οποίες μπορούν να οδηγήσουν στον ορισμό συστήματος συντεταγμένων σε μη ευκλείδειους χώρους καθώς

ένα σύστημα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων σε ένα χώρο n διαστάσεων αποτελείται από n απεικονίσεις (συναρτήσεις) q1q2, …, qn, οι οποίες σε κάθε σημείο του χώρου P αντιστοιχίζουν n πραγματικούς αριθμούς q1(P), q2(P), …, qn(P) (Δερμάνης Α. , 2005).

Ο ρόλος των διανυσμάτων στα συστήματα αναφοράς


Παραμένοντας στους ευκλείδειους χώρους, η θέση ενός σημείου μπορεί να αποδοθεί το ίδιο καθολικά με τη χρήση ενός διανύσματος θέσης, το οποίο έχει ως αφετηρία την αρχή του συστήματος και τέλος το ίδιο σημείο. Οι διανυσματικές ποσότητες, παρότι πιο πολύπλοκες από τις απλές βαθμωτές, είναι κατάλληλες για την περιγραφή φαινομένων διανυσματικού χαρακτήρα, όπως π.χ. η ταχύτητα ενός σημείου. Φυσικά, η υιοθέτηση αυτού οδηγεί αναπόφευκτα στην επέκταση του συστήματος αναφοράς το οποίο, πλέον, διέπεται από τις διανυσματικές ιδιότητες και πιο συγκεκριμένα, αποτελεί ένα γραμμικό διανυσματικό χώρο, με την έννοια πως οποιοδήποτε διάνυσμα μπορεί να περιγραφεί, πχ. στην περίπτωσή του 3ου χώρου, από ένα σύνολο 3 τοπικών διανυσμάτων e1, e2 και e3 τα οποία να είναι γραμμικά ανεξάρτητα1 μεταξύ τους. Το σύνολο των e1e2 και e3 αποτελεί την τοπική διανυσματική βάση, οπότε για ένα οποιοδήποτε διάνυσμα a∈R3 με συνιστώσες a1, a2, a3 ισχύει η εξίσωση


Συνεπώς, επεκτείνοντας την ιδιότητα στον χώρο των n διαστάσεων, το διάνυσμα a∈Rn εκφράζεται ως

Είναι σαφές πως ο παραπάνω φορμαλισμός οδηγεί σε εύκολη και άμεσα αντιληπτή έκφραση των στοιχείων ενός διανυσματικού χώρου. Η εισαγωγή της τοπικής βάσης απορρέει από τη χρήση ενός "καθολικού" συστήματος τριών γραμμικώς ανεξάρτητων διανυσμάτων e1(O), e2(O) και e3(O) (ή ισοδύναμα e1O, e2O και e3O) σε μία αυθαίρετη αρχή Ο του χώρου, από την οποία προκύπτει οποιαδήποτε τοπική βάση e1ke2k και e3k με απλή μετάθεση και στροφή. Το σύστημα αυτό το ονομάζουμε παγκόσμιο σύστημα συντεταγμένων.

Σύμφωνα με όλα τα παραπάνω, σε έναν ευκλείδειο χώρο το σύστημα αναφοράς αποτελείται από (Δερμάνης Α., 2005):
  1. ένα σημείο του χώρου (Ο) το οποίο επιλέγεται ως η αρχή αυτού.
  2. ένα σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων τοπικών διανυσμάτων e1(O), ..., en(O) στο σημείο (O) τόσα όσα και η διάσταση n του ευκλείδειου χώρου, τα οποία αποτελούν την παγκόσμια διανυσματική βάση του συστήματος αναφοράς.
  3. ένα πεδίο τοπικών διανυσματικών βάσεων e1(P), ..., en(P) το οποίο προκύπτει από την παράλληλη μετάθεση της βάσης e1(O), ..., en(O) από το σημείο (Ο) σε κάθε σημείο (Ρ) του χώρου, για την περιγραφή των τοπικών διανυσμάτων σε κάθε σημείο και για την αναλυτική περιγραφή των διανυσματικών πεδίων.
εικόνα 2, ένα παγκόσμιο και ένα τοπικό σύστημα αναφοράς στον χώρο.

Μετασχηματισμοί συστημάτων αναφοράς

Έχει μεγάλη σημασία να μελετήσουμε το κατά πόσο δύο συστήματα αναφοράς μπορούν να συνδεθούν μεταξύ τους. Η σημασία αυτού πηγάζει, όχι μόνο από το μαθηματικό ενδιαφέρον, αλλά και από πιο πρακτικές εφαρμογές όπως π.χ. είναι η μεταφορά μετρήσεων που αναφέρονται σε σύστημα αναφοράς ενός δορυφορικού οργάνου σε ένα επίγειο. Αποκαλούμε αυτή τη διαδικασία μεταφοράς πληροφορίας από ένα σύστημα αναφοράς σε ένα άλλο μετασχηματισμό.

Ας θεωρήσουμε δύο συστήματα αναφοράς στον τρισδιάστατο χώρο, τα οποία μπορεί να είναι κάλλιστα ένα παγκόσμιο και ένα τοπικό σύστημα αναφοράς, όπως ακριβώς τα ορίσαμε παραπάνω. Βασική απαίτηση είναι να μην συμπίπτουν μεταξύ τους, επομένως η αρχή του καθενός βρίσκεται σε διαφορετικό σημείο στο χώρο. Θεωρούμε, επίσης, ένα σημείο P με τη θέση αυτού να εκφράζεται και από τα δύο συστήματα αναφοράς ως εξής:

Στο τοπικό σύστημα αναφοράς

Στο παγκόσμιο σύστημα αναφοράς

Οι αρχές των δύο συστημάτων διαφέρουν κατά ένα συγκεκριμένο διάνυσμα m ώστε να ισχύει η εξίσωση

Εκφράζοντας σε μορφή πινάκων την παραπάνω σχέση έχουμε

όπου
Επίσης ισχύει
καθώς το διάνυσμα μετάθεσης εκφράζεται μέσω και των δύο συστημάτων.

εικόνα 3, σύνδεση μεταξύ του παγκόσμιου και του τοπικού συστήματος αναφοράς.
Σκοπός μας είναι να συνδέσουμε τα δύο συστήματα. Επομένως, θέτουμε τη σχέση μεταξύ των χαρακτηριστικών διανυσμάτων τους ως εξής

όπου αποκαλούμε τις επιμέρους συνιστώσες Rji συνιστώσες πίνακα στροφής. Σε μορφή πινάκων, η παραπάνω σχέση εκφράζεται ως
όπου

Αποδεικνύεται εύκολα πως ο πίνακας R είναι ορθογώνιος, δηλαδή

Από όλα τα παραπάνω έπεται πως
δηλαδή

Η παραπάνω εξίσωση είναι η εξίσωση μετασχηματισμού μεταξύ δύο συστημάτων αναφοράς, όπου, προκειμένου να μεταφερθούμε από το ένα σύστημα στο άλλο, πρέπει η γεωμετρική πληροφορία να υποστεί τρεις στροφές των αξόνων αναφοράς και τρεις μεταθέσεις.

εικόνα 4, τα στάδια του μετασχηματισμού από το παγκόσμιο στο τοπικό σύστημα
αναφοράς. Φαίνεται η διαδοχική μετάθεση της αρχής στον χώρο και η στροφή των
χαρακτηριστικών αξόνων.
Η ίδια διαδικασία μπορεί να εφαρμοστεί κάλλιστα και στο δισδιάστατο χώρο, οπότε και οι παράμετροι των συστημάτων μειώνονται κατά ένα βαθμό περιγραφής η κάθε μία. Έτσι, χρειαζόμαστε μία στροφή των αξόνων αναφοράς και δύο μεταθέσεις.

Πρέπει να πούμε πως στις παραπάνω εξισώσεις μετασχηματισμού υπεισέρχεται και η παράμετρος της κλίμακας, ωστόσο θα θεωρήσουμε πως τα συστήματα ταυτίζονται μεταξύ τους ως προς αυτήν και δεν θα ασχοληθούμε ακόμη μαζί της.

Ο σκοπός των μετασχηματισμών των συστημάτων αναφοράς

Η χρησιμότητα του μετασχηματισμού είναι προφανής στη Γεωδαισία. Υπάρχει η ανάγκη να υλοποιούμε ένα σύστημα αναφοράς με κάποιον τρόπο για τις εφαρμογές που βασίζονται σε αυτό. Φυσικά, πρακτικά, οποιοδήποτε σύστημα αναφοράς που χρησιμοποιούμε έχει περιορισμένο χρόνο ζωής και αυτό εξαιτίας δύο βασικών παραμέτρων που το συνιστούν και λαμβάνονται υπόψη κατά το σχεδιασμό του: η μία είναι η ακρίβεια που το περιγράφει και που είναι απαραίτητο να συμβαδίζει με τις επιταγές που ορίζει η επιστημονική κοινότητα καθώς και οι εφαρμογές. Καθώς εξελίσσονται τα όργανα που συγκεντρώνουν τις μετρήσεις, τα συστήματα που τις υπολογίζουν και τις αξιολογούν, τα μοντέλα που περιγράφουν τη συμπεριφορά του φυσικού περιβάλλοντος, αυξάνονται ταυτόχρονα και οι απαιτήσεις ακρίβειας που περιγράφουν τα σημεία που χρησιμοποιούνται σε κάθε μελέτη ή εφαρμογή. Η άλλη παράμετρος είναι ο σκοπός του συστήματος αναφοράς, καθώς έχει αναπτυχθεί μεγάλη πληθώρα συστημάτων με διαφορετικά χαρακτηριστικά, ώστε να αξιοποιούμε σε κάθε περίπτωση εκείνο που θα περιγράψει τη ζητούμενη πληροφορία στο μέγιστο δυνατό βαθμό. Είναι αυτονόητο πως, εάν δεν λάβουμε υπόψη τα παραπάνω, η υλοποίηση ενός συστήματος αναφοράς είναι σχεδόν καταδικασμένη εξαρχής να αποτύχει στο σκοπό της.

Προκύπτει, συνεπώς, η ανάγκη να αντικαθιστάται το χρησιμοποιούμενο σύστημα αναφοράς κατά τακτά χρονικά διαστήματα, εφόσον έχει κριθεί πλέον ανεπαρκές να αποδώσει σωστά τη θέση των σημείων και να εγκαθιστάται ένα νέο. Τι γίνεται, ωστόσο, με την πληροφορία που έχει περιγραφεί στο προηγούμενο σύστημα αναφοράς; Πρέπει το νέο σύστημα να επανασυλλέξει όλη την προηγούμενη πληροφορία; Σε μια εναλλακτική περίπτωση, εάν το αμερικανικό δίκτυο, το οποίο αναφέρεται σε άλλο σύστημα αναφοράς, πρέπει να συνδεθεί με αυτό του ευρωπαϊκού, ποια μεθοδολογία πρέπει να ακολουθήσει κανείς; Εάν θα πρέπει να μεταφράσουμε ένα φαινόμενο με μετρήσεις που αναφέρονται εσωτερικά στο σύστημα του διαστημικού δορυφόρου πάνω στη γήινη επιφάνεια, υπάρχει κάποια μεταβολή; Η πληθώρα των παραδειγμάτων είναι άπειρη.

Αυτόν ακριβώς το σκοπό εξυπηρετεί ο μετασχηματισμός μεταξύ των συστημάτων. Με τη χρήση αυτού, η υπάρχουσα πληροφορία δεν χάνεται, αλλά μπορεί να μεταφραστεί διαχρονικά στα νέα συστήματα που αντικαθιστούν τα παλιά, να μεταφερθούν οι μετρήσεις που πραγματοποιούνται στη ανώτερη γήινη ατμόσφαιρα πάνω στην επιφάνεια κλπ.

Όλες οι διαδικασίες που αναφέραμε ισχύουν και για τα καμπυλόγραμμα συστήματα αναφοράς. Μάλιστα, στις περισσότερες γεωδαιτικές εφαρμογές τα καμπυλόγραμμα συστήματα χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν καθολικά το γήινο χώρο, ενώ τα επίπεδα καρτεσιανά συστήματα χρησιμεύουν ώστε να μελετηθεί μια μικρή επιφάνεια αυτού. Αυτό συμβαίνει διότι η καμπυλότητα της Γης είναι αρκετά μεγάλη για να θεωρήσουμε απλουστευτικά πως το σχήμα της εκφυλίζεται σε επίπεδο για τοπικές εφαρμογές.

Πηγές: Συντεταγμένες και συστήματα αναφοράς, Δερμάνης Α.
           Γεωμετρική γεωδαισία, Φωτίου Α.
           Τοπογραφικά δίκτυα και υπολογισμοί, Δερμάνης Α. , Ρωσσικόπουλος Δ. , Φωτίου Α.

Κείμενο: Τάσος Φάκας
Επιμέλεια: Βαγγέλης Φινδανής

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου