Δευτέρα, 7 Δεκεμβρίου 2015

Υδροστατική πίεση ηλεκτρικά φορτισμένου ρευστού

Έχουμε ένα κλειστό δοχείο (σχήμα 1) το οποίο περιέχει ένα ασυμπίεστο ρευστό πυκνότητας ρ=1000 kg/m3. Η ελεύθερη επιφάνεια του ρευστού είναι εκτεθειμένη σε πίεση ίση με p0=2500 Pa και το δοχείο έχει πυθμένα διαστάσεων 4x4 (m). Το μέγιστο βάθος του ρευστού είναι 5 m και συναντάται στην οριζόντια θέση x=0. Όμως το ρευστό είναι αρνητικά φορτισμένο και συγκεκριμένα 0.1 lt ρευστού έχει φορτίο -800 μC. Ποια είναι η δύναμη που ασκείται από το ρευστό στον πυθμένα της δεξαμενής αν στον χώρο της δεξαμενής υπάρχουν ένα ηλεκτρικό πεδίο έντασης E=100i+150j (N/C) και ένα βαρυτικό πεδίο έντασης g=-2j (m/s2);

σχήμα 1, το ηλεκτρικά φορτισμένο ρευστό ηρεμεί μέσα στο δοχείο.

Οι βασικές σχέσεις που χαρακτηρίζουν στάσιμα ρευστά είναι οι
Οι εξισώσεις (1) και (2) αναφέρονται στην περίπτωση που οι μόνες ασκούμενες body forces στο ρευστό είναι οι βαρυτικές δυνάμεις. Αν θέλουμε να γενικεύσουμε τις σχέσεις αυτές και για την περίπτωση ηλεκτρικών δυνάμεων έχουμε
όπου k είναι η πυκνότητα φορτίου. Η λύση των διαφορικών εξισώσεων (3) και (4) είναι το πεδίο πίεσης
όπου c είναι η οριακή συνθήκη του προβλήματος μας. Από τα δεδομένα του προβλήματος μας έχουμε
Στην εξίσωση (6) η πίεση εισάγεται σε Pa και τα x, y σε m. Το k υπολογίστηκε ως εξής:
Για να συμπληρώσουμε την εξίσωση (6) πρέπει να υπολογίσουμε το c. Από τα δεδομένα γνωρίζουμε πως
Κάνοντας αντικατάσταση αυτή την οριακή συνθήκη στην σχέση (6) έχουμε
Έτσι η σχέση (6) γίνεται

Για να βρούμε την δύναμη που ασκείται στον πυθμένα πρέπει να προσδιορίσουμε την κατανομή πίεσης που εφαρμόζεται σε αυτόν. Από το σχήμα 1 καταλαβαίνουμε πως για τον πυθμένα ισχύει y=0. Οπότε η κατανομή πίεσης που ασκείται σε αυτόν είναι η

Συνεπώς για να υπολογίσουμε την δύναμη που ασκείται στον πυθμένα ολοκληρώνουμε την παραπάνω κατανομή πάνω στον πυθμένα. Το x του πυθμένα κυμαίνεται από 0 μέχρι 6. Οπότε η κάθετη δύναμη f ανά μονάδα πλάτους που ασκείται σε αυτόν είναι η
Έτσι η συνολική κάθετη δύναμη F που ασκείται στον πυθμένα ισούται με

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου