Σάββατο, 19 Δεκεμβρίου 2015

Προώθηση πυραύλου

Συνήθως σε εφαρμογές φυσικής συναντάμε σώματα τα οποία έχουν σταθερή μάζα. Σε αυτή την περίπτωση εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ορμής χωρίς πολλές δυσκολίες. Τι γίνεται όμως αν εξετάζουμε ένα σύστημα μεταβλητής μάζας; Χαρακτηριστικό παράδειγμα ενός τέτοιου συστήματος είναι ένας πύραυλος ο οποίος κινείται στο διάστημα. Ο πύραυλος κινείται επειδή προωθεί προς τα πίσω τα προϊόντα της καύσης που συμβαίνουν στο εσωτερικό του με αποτέλεσμα τα προϊόντα να τον προωθούν προς τα μπρος. Παρακάτω εξετάσουμε με λεπτομέρεια ένα τέτοιο σύστημα.

Έστω πως έχουμε τον πύραυλο του σχήματος 1. Την χρονική στιγμή t ο πύραυλος κινείται με σταθερή ταχύτητα u σε σχέση με έναν εξωτερικό παρατηρητή (σχήμα 1a) και έχει μάζα m. Μετά από χρόνο dt οι μηχανές του ξεκινάνε την καύση καυσίμων με αποτέλεσμα η ταχύτητα του πυραύλου να αυξάνεται κατά du (σχήμα 1b). Μέσα στο χρονικό διάστημα dt η μάζα του πυραύλου έχει μειωθεί κατά dm καθώς από εκείνον έχουν εξέλθει τα προϊόντα της καύσης. Ας υποθέσουμε πως η ταχύτητα εξαγωγής των προϊόντων της καύσης σε σχέση με τον πύραυλο είναι ίση με uex. Ποια είναι η επιτάχυνση του πυραύλου;


σχήμα 1, (a) ο πύραυλος έχει κλειστή την μηχανή του και δεν επιταχύνεται, (b) ο πύραυλος εκτοξεύει καύσιμα και επιταχύνεται.
Αρχικά, πρέπει να πούμε πως η ταχύτητα εξαγωγής των προϊόντων της καύσης ως προς το σύστημα αναφοράς του εξωτερικού παρατηρητή είναι ίση με
Οπότε η ορμή των προωθητικών αερίων που εξήλθαν από τον πύραυλο μέσα σε χρόνο dt ισούται με
Η ορμή του πυραύλου την χρονική στιγμή t+dt είναι ίση με
Επίσης εύκολα καταλαβαίνουμε πως η ορμή του πυραύλου την χρονική στιγμή t ήταν ίση με
Αφού το σύστημα πυραύλου-αερίων είναι απομονωμένο μπορούμε να εφαρμόσουμε την αρχή διατήρησης της ορμής. Έτσι έχουμε
Ο όρος dmdu είναι πολύ μικρός γιατί είναι γινόμενο δύο μικρών όρων και έτσι τον θεωρούμε αμελητέο. Συνεχίζοντας ισχύει
Διαιρώντας και τα δύο μέλη με dt προκύπτει

Αν συμβολίσουμε την παροχή μάζας dm/dt με Q έχουμε
Η εξίσωση (5) είναι η σχέση που μας δίνει την επιτάχυνση του πυραύλου για μία δεδομένη χρονική στιγμή t. Με άλλα λόγια η επιτάχυνση του πυραύλου είναι συνάρτηση του χρόνου γιατί και η μάζα του είναι συνάρτηση του χρόνου. Καθώς περνάει ο χρόνος η μάζα του πυραύλου μειώνεται με αποτέλεσμα η επιτάχυνση του να αυξάνεται.

Επιπλέον, μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση (5) ως εξής:

Όμως από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα γνωρίζουμε πως ισχύει
Επομένως
όπου F είναι η δύναμη προώθησης του πυραύλου. Αν θεωρήσουμε πως το uex και το Q είναι σταθερά με το πέρασμα του χρόνου και το F είναι σταθερό. Δηλαδή η μάζα του πυραύλου μειώνεται ενώ η επιτάχυνση του αυξάνεται με αποτέλεσμα η δύναμη προώθησης να είναι σταθερή.

Τέλος, ας υποθέσουμε πως μία χρονική στιγμή t1 η ταχύτητα του πυραύλου είναι u1 και η μάζα του είναι m1. Ποια είναι η ταχύτητα του πυραύλου μία άλλη χρονική στιγμή t2 που η μάζα του ισούται με m2;

Για να απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα ολοκληρώνουμε την σχέση (4) κατά μέλη. Έτσι έχουμε
Η σχέση (7) μας δίνει την ταχύτητα u2 συναρτήσει των άλλων γνωστών ποσοτήτων.

Εφαρμογή

Την χρονική στιγμή t=0 η μάζα ενός πυραύλου ισούται με 10 tn και η ταχύτητα του ισούται με 40 m/s. Αν γνωρίζουμε πως η ταχύτητα εξαγωγής των αερίων είναι ίση με 2000 m/s και πως ο ρυθμός με τον οποίο εξάγονται τα προϊόντα της καύσης είναι Q=100 kg/s υπολογίστε:
a) την επιτάχυνση του πυραύλου την χρονική στιγμή t=0
b) την δύναμη προώθησης του πυραύλου
c) την ταχύτητα του όταν η μάζα του ισούται με 5 tn

Επίλυση

a) Χρησιμοποιούμε την σχέση (5). Έτσι έχουμε

Δηλαδή την χρονική στιγμή t=0, ο πύραυλος έχει επιτάχυνση ίση με 20 m/s2. Θεωρήσαμε πως η παροχή μάζας Q είναι αρνητική καθώς η μάζα του πυραύλου μειώνεται.


b) Από την εξίσωση (6) έχουμε
Η δύναμη προώθησης έχει μέτρο 200 kN και φορά προς τα δεξιά.

c) Η ταχύτητα του πυραύλου u όταν η μάζα του είναι 5 tn δίνεται από την σχέση (7). Επομένως έχουμε
Οπότε όταν ο πύραυλος έχει μάζα ίση με 5 tn, η ταχύτητα του είναι ίση με 1426 m/s.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου