Δευτέρα, 18 Ιανουαρίου 2016

Ο νόμος του Gauss για το βαρυτικό πεδίο

Είμαστε εξοικειωμένοι με τον νόμο του Gauss για το ηλεκτρικό πεδίο. Ειδικότερα, ο νόμος του Gauss μας διευκολύνει να υπολογίσουμε την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σε συμμετρικά προβλήματα του ηλεκτρομαγνητισμού. Ομοίως, ο νόμος του Gauss μπορεί να εφαρμοστεί και για τον υπολογισμό της έντασης του βαρυτικού πεδίου. Ας δούμε πιο αναλυτικά τον νόμο αυτόν.

Αρχικά, πρέπει να εισάγουμε την έννοια της διανυσματικής ροής την οποία μπορείτε να την δείτε αναλυτικά εδώ. Η διανυσματική ροή στην περίπτωση ενός βαρυτικού πεδίου ονομάζεται βαρυτική ροή και συμβολίζεται με ΦG. Η φυσική σημασία της βαρυτικής ροής είναι η ακόλουθη: μας δείχνει το πόσο βαρυτικό πεδίο διαρρέει μία επιφάνεια A.

Ας επιστρέψουμε λοιπόν στον νόμο του Gauss. Συγκεκριμένα ο νόμος του Gauss μας υπαγορεύει το εξής: η βαρυτική ροή που διαρρέει μία κλειστή επιφάνεια A είναι ανάλογη της μάζας m που βρίσκεται μέσα στην επιφάνεια αυτή. Δηλαδή, ισχύει
όπου G η βαρυτική σταθερά. Στην εξίσωση (1) το αριστερό μέλος είναι η βαρυτική ροή που διαρρέει την κλειστή επιφάνεια Α ενώ το δεξί μέλος είναι μία γραμμική συνάρτηση του m. Στο σχήμα 1 μπορούμε να διακρίνουμε την επιφάνεια Α και τις δυναμικές γραμμές του βαρυτικού πεδίου που δημιουργείται από την μάζα m.

σχήμα 1, η μάζα m και η γκαουσιανή επιφάνεια.
Παρατηρούμε πως οι δυναμικές γραμμές του πεδίου βαρύτητας κατευθύνονται προς την μάζα m. Αυτή είναι μία διαφορά του ηλεκτρικού πεδίου και του βαρυτικού αφού στο ηλεκτρικό πεδίο οι δυναμικές γραμμές μπορεί να κατευθύνονται προς ή από ένα φορτίο ενώ στο βαρυτικό πεδίο πάντα κατευθύνονται προς την μάζα. Επίσης, να σημειωθεί πως η επιφάνεια Α ονομάζεται γκαουσιανή επιφάνεια.

Παράδειγμα 1

Υπολογίστε την ένταση του βαρυτικού πεδίου που δημιουργεί μία σφαιρική μάζα m συναρτήσει της απόστασης r από αυτή.

Για να κάνουμε τον υπολογισμό αυτό θεωρούμε μία γκαουσιανή επιφάνεια Α η οποία είναι σφαίρα ακτίνας r και η οποία έχει ως κέντρο της το κέντρο της μάζας m (σχήμα 2a).

σχήμα 2, (a) μία σφαιρική γκαουσιανή επιφάνεια, (b) ένα στοιχειώδες τμήμα της επιφάνειας αυτής.
Αν χωρίσουμε την γκαουσιανή επιφάνεια σε στοιχειώδη τμήματα dA (σχήμα 2b) μπορούμε να πούμε πως η βαρυτική ροή που διαρρέει ένα στοιχειώδες τμήμα dA είναι ίση με
αφού στην περίπτωση της σφαίρας οι δυναμικές γραμμές τέμνουν κάθετα (θ=0) το στοιχειώδες τμήμα dA. Η συνολική βαρυτική ροή που διέρχεται από την γκαουσιανή επιφάνεια είναι
Οπότε από την σχέση (1) ισχύει
Συνεπώς, η ένταση του βαρυτικού πεδίου που δημιουργείται από μία σφαιρική μάζα m είναι αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης r από την μάζα αυτή.

Παράδειγμα 2

Θεωρήστε πως έχουμε μία ράβδο άπειρου μήκους και γραμμικής πυκνότητας ρ. Υπολογίστε την ένταση του πεδίου βαρύτητας σε ακτινική απόσταση r από την ράβδο.

σχήμα 3, με κόκκινη διαγράμμιση φαίνεται το τμήμα της ράβδου που εμπεριέχεται στην γκαουσιανή επιφάνεια.
Θα χρησιμοποιήσουμε μία κυλινδρική γκαουσιανή επιφάνεια ύψους d και ακτίνας r (σχήμα 3). Εξαιτίας της συμμετρίας του προβλήματος μας το βαρυτικό πεδίο εκτείνεται ακτινικά και ως εκ τούτου είναι κάθετο σε κάθε σημείο της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρου και παράλληλο στις βάσεις του κυλίνδρου.

Επομένως, η βαρυτική ροή που διαρρέει την γκαουσιανή επιφάνεια ισούται με το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρου επί το βαρυτικό πεδίο. Δηλαδή
Η μάζα που περιέχεται μέσα στην γκαουσιανή επιφάνεια ισούται με
Από τον νόμο του Gauss έχουμε
Συνεπώς, η ένταση του πεδίου βαρύτητας είναι αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης από την ράβδο.

Παράδειγμα 3

Καθορίστε το βαρυτικό πεδίο που δημιουργείται από ένα άπειρο επίπεδο φύλλο επιφανειακής πυκνότητας σ.

σχήμα 4, με κόκκινο φαίνεται η μάζα που περιέχεται στον κύλινδρο.
Θεωρούμε πάλι μία κυλινδρική γκαουσιανή επιφάνεια (σχήμα 4). Εξαιτίας της συμμετρίας του προβλήματος μας το βαρυτικό πεδίο είναι κάθετο στο φύλλο. Επομένως, είναι κάθετο και στις βάσεις του κυλίνδρου ενώ είναι παράλληλο με την παράπλευρη επιφάνεια του.

Έστω S το εμβαδόν των βάσεων του κυλίνδρου. Τότε η βαρυτική ροή που διαρρέει και τις δύο βάσεις ισούται με
Η μάζα που περιέχεται στον κύλινδρο ισούται με
Οπότε από την σχέση (1) έχουμε
Παρατηρούμε πως η ένταση g δεν εξαρτάται από την απόσταση από το φύλλο, δηλαδή έχει το ίδιο μέτρο για κάθε σημείο του χώρου.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου